Cho $x^{4}+y^{4}+z^{4}=3$. Tìm Max của
$P=x^{2}(y+z)+y^{2}(x+z)+z^{2}(x+y)$
Cho $x^{4}+y^{4}+z^{4}=3$. Tìm Max của
$P=x^{2}(y+z)+y^{2}(x+z)+z^{2}(x+y)$
Áp dụng BĐT AM-GM :
$x^{2}y\leq \frac{x^{4}+y^{2}}{2}$
=> $\sum x^{2}(y+z)\leq x^{4}+y^{4}+z^{4}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 3+\sqrt{3\sum x^{4}}=6$
Vậy max P = 6 và đạt được khi x=y=z=1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nhok Tung: 30-04-2016 - 21:51
$\lim_{I\rightarrow Math}LOVE=+\infty$
Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc ,ta được:
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 30-04-2016 - 22:11
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Cho $x^{4}+y^{4}+z^{4}=3$. Tìm Max của
$P=x^{2}(y+z)+y^{2}(x+z)+z^{2}(x+y)$
$P^2=\left [ x^{2}(y+z)+y^{2}(x+z)+z^{2}(x+y) \right ]^{2}$
$\leq \left [ (x^{2})^{2}+(y^{2})^{2}+(z^{2})^{2} \right ]\left \lceil (y+z)^{2}+(x+z)^{2}+(x+y)^{2} \right \rceil$
$=(x^{4}+y^{4}+z^{4}).2.(x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx)$
$=6(x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx)$
$\leq 12(x^{2}+y^{2}+z^{2})(do xy+yz+zx\leq x^{2}+y^{2}+z^{2})$
Có $\frac{x^{4}}{1}+\frac{y^{4}}{1}+\frac{z^{4}}{1}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{1+1+1}$
hay $(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}\leq 9$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 3$
Nên $P^{2}\leq 36\Rightarrow P\leq 6$
Vậy Max P=6, dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh