Cho a,b là các số dương thỏa mãn $(a+b)^{3}+4ab\leq 12$.Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq 2016$
$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq 2016$
#1
Posted 01-05-2016 - 11:40
#2
Posted 01-05-2016 - 15:54
Cho a,b là các số dương thỏa mãn $(a+b)^{3}+4ab\leq 12$.Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq 2016$
Ta có:
$12\geq (a+b)^{3}+4ab\geq a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)+4ab\geq 4ab(a+b)+4ab\geq 8\sqrt{a^{3}b^{3}}+4ab$
$\Leftrightarrow 3\geq 2\sqrt{a^{3}b^{3}}+ab\Leftrightarrow (\sqrt{ab}-1)(2ab+2\sqrt{ab}+3)\leq 0 \Leftrightarrow ab\leq 1$
Vì $ab\leq 1$ nên:
$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}+2015ab\leq 2016$
$\Leftrightarrow 2015\sqrt{ab}(ab-1)+\sqrt{ab}(\sqrt{ab}-1)+2014ab\leq 2014$(luôn đúng)
Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=1$
Cho a,b là các số dương thỏa mãn $(a+b)^{3}+4ab\leq 12$.Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq 2016$
- Shin Janny, tpdtthltvp, PlanBbyFESN and 5 others like this
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#3
Posted 02-06-2016 - 12:17
Ta có:
$12\geq (a+b)^{3}+4ab\geq a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)+4ab\geq 4ab(a+b)+4ab\geq 8\sqrt{a^{3}b^{3}}+4ab$
$\Leftrightarrow 3\geq 2\sqrt{a^{3}b^{3}}+ab\Leftrightarrow (\sqrt{ab}-1)(2ab+2\sqrt{ab}+3)\leq 0 \Leftrightarrow ab\leq 1$
Vì $ab\leq 1$ nên:
$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}+2015ab\leq 2016$
$\Leftrightarrow 2015\sqrt{ab}(ab-1)+\sqrt{ab}(\sqrt{ab}-1)+2014ab\leq 2014$(luôn đúng)
Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=1$
Cho a,b là các số dương thỏa mãn $(a+b)^{3}+4ab\leq 12$.Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq 2016$
từ chỗ $ab\leq 1$ tớ k hỉu ạ
#Bé_Nú_Xđ
#4
Posted 02-06-2016 - 12:42
từ chỗ $ab\leq 1$ tớ k hỉu ạ
Chắc cậu băn khoăn cái này . Ta có Bất đẳng thức :
- ngocminhxd, doraemon123 and HuynhGiao184 like this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users