Chủ đề này có 1 trả lời

[Phung Quang Minh]

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). AB cắt CD tại F; AD cắt BC tại E. CMR: EF² =EA.ED+ FC.FD.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 01-05-2016 - 17:45

[vkhoa]

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). AB cắt CD tại F; AD cắt BC tại E. CMR: EF² =EA.ED+ FC.FD.

$\triangle EAB\sim\triangle ECD$ (g, g)
$\Rightarrow\frac{EA}{EC} =\frac{EB}{ED}$
$\Leftrightarrow EA .ED =EB .EC$ (1)
$\triangle FBC\sim\triangle FDA$ (g, g)
$\Rightarrow\frac{FC}{FA} =\frac{FB}{FD}$
$\Leftrightarrow FC .FD =FB .FA$ (2)
từ (1, 2)$\Rightarrow EA .ED +FC .FD =EB .EC +FB .FA$ (3)
đường tròn ngoại tiếp ABE cắt EF tại G
$\triangle FBG\sim\triangle FEA$ (g, g)
$\Rightarrow\frac{FB}{FE} =\frac{FG}{FA}$
$\Leftrightarrow FB .FA =FG .FE$ (4)
có $\widehat{FGB} =180^\circ -\widehat{BGE}$
$=180^\circ -\widehat{FAD} =180^\circ -\widehat{FCB}$
$\Rightarrow$FGBC nội tiếp
$\Rightarrow\triangle EBG\sim\triangle EFC$ (g, g)
$\Rightarrow\frac{EB}{EF} =\frac{EG}{EC}$
$\Leftrightarrow EB .EC =EG .EF$ (5)
từ (3, 4, 5)$\Rightarrow EA .ED +FC .FD =(EG +FG) .EF =EF^2$ (đpcm)

Hình gửi kèm

•