Chủ đề này có 5 trả lời

[hoctrocuaHolmes]

1.Chứng minh với $N\geq 3$ luôn luôn có N số chính phương đôi một khác nhau sao cho tổng của chúng là 1 số chính phương

2.Cho số tự nhiên $n>1$.Chứng minh nếu $n$ lẻ thì ta không thể sắp $n$ số tự nhiên đầu tiên $\left \{ 1,2,...,n \right \}$ thành 1 dãy sao cho với mọi $k\leq n$ tổng của $k$ số đầu tiên không chia hết cho $n$

[I Love MC]

1.Chứng minh với $N\geq 3$ luôn luôn có N số chính phương đôi một khác nhau sao cho tổng của chúng là 1 số chính phương

 

Với $i=1,2,..,n-2$ ta chọn $a_i=(2p_i)^2$ 
Với $3 \le p_1 <... \le p_{n-2}$ chọn $a_{n-1}=(2p_{n-2}+1)^2$  
Khi đó $a_1+a_2+..+a_n$ là số lẻ và có dạng $2k+1$. Chọn $a_n=k^2$ thì 
$a_1+...+a_{n-1}+a_n=(k+1)^2$ là số chính phương. 
Vì $2k+1 \ge a_1 \ge 9$ nên $k \ge 4$ 
Do đó $a_k=k^2 \ge 4k>2k+1>a_{n-1}$ 
Do đó $a_1,a_2,..,a_n$ là số chính phương đôi một khác nhau. 
[hide] Bài này có thể mở rộng thêm nữa[\hide]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 02-05-2016 - 19:16

[hoilamchi]

Với $=1,2,..,n-2$ ta chọn $a_i=(2p_i)^2$ 
Với $3 \le p_1 <... \le p_{n-2}$ chọn $a_{n-1}=(2p_{n-2}+1)^2$  
Khi đó $a_1+a_2+..+a_n$ là số lẻ và có dạng $2k+1$. Chọn $a_n=k^2$ thì 
$a_1+...+a_{n-1}+a_n=(k+1)^2$ là số chính phương. 
Vì $2k+1 \ge a_1 \ge 9$ nên $k \ge 4$ 
Do đó $a_k=k^2 \ge 4k>2k+1>a_{n-1}$ 
Do đó $a_1,a_2,..,a_n$ là số chính phương đôi một khác nhau. 
[hide] Bài này có thể mở rộng thêm nữa[\hide]

Trước dấu bằng là gì thế bạn ?

[hoctrocuaHolmes]

Với $i=1,2,..,n-2$ ta chọn $a_i=(2p_i)^2$ 
Với $3 \le p_1 <... \le p_{n-2}$ chọn $a_{n-1}=(2p_{n-2}+1)^2$  
Khi đó $a_1+a_2+..+a_n$ là số lẻ và có dạng $2k+1$. Chọn $a_n=k^2$ thì 
$a_1+...+a_{n-1}+a_n=(k+1)^2$ là số chính phương. 
Vì $2k+1 \ge a_1 \ge 9$ nên $k \ge 4$ 
Do đó $a_k=k^2 \ge 4k>2k+1>a_{n-1}$ 
Do đó $a_1,a_2,..,a_n$ là số chính phương đôi một khác nhau. 
[hide] Bài này có thể mở rộng thêm nữa[\hide]

Đoạn cuối chưa rõ,mới chỉ nêu $a_n$ khác $a_{n-1}$.

Với lại cậu có thể nói luôn mở rộng của mình được không?

[I Love MC]

Đoạn cuối chưa rõ,mới chỉ nêu $a_n$ khác $a_{n-1}$.

Với lại cậu có thể nói luôn mở rộng của mình được không?

Sao cậu với bài này chỉ chứng minh với $a_n>a_{n-1}$ là đủ rồi  
Bài toán liên quan : Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ $n$ sao cho tồn tại các số nguyên lẻ $x_1,x_2,..,x_n$ để $\sum_{i=1}^n x_i^2=n^4$

[hoilamchi]

Sao cậu với bài này chỉ chứng minh với $a_n>a_{n-1}$ là đủ rồi  
Bài toán liên quan : Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ $n$ sao cho tồn tại các số nguyên lẻ $x_1,x_2,..,x_n$ để $\sum_{i=1}^n x_i^2=n^4$

Mình chưa hiểu khúc cuối,cậu ghi ra nốt phần còn lại đi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoilamchi: 02-05-2016 - 20:03