4 replies to this topic

[luluhary]

Tìm $a,b\in \mathbb{N^*}$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}b|a^2+1 & & \\a^2|b^3+1 & & \end{matrix}\right.$

[baopbc]

Tìm $a,b\in \mathbb{N^*}$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}b|a^2+1 & & \\a^2|b^3+1 & & \end{matrix}\right.(*)$

Lời giải sai.

Xét hai khả năng sau: 

Khả năng $1$: $\gcd(a,3)=1$. Ta có $\gcd (b+1,b^2+b+1)\mid 3$ nên $a^2\mid b+1$ hoặc $a^2\mid b^2-b+1$

- $a^2\mid b+1$. Do $b\mid a^2+1\Rightarrow a=b=1$

- $a^2\mid b^2-b+1\Rightarrow a^2\mid b^2-b+a^2+1\Rightarrow a^2\mid b-1+\frac{a^2+1}{b}$ (do $\gcd(a,b)=1$ và $b\mid a^2+1$)

Đặt $a^2+1=kb\Rightarrow a^2=kb-1\Rightarrow kb-1\leq b-1+k\Leftrightarrow kb\leq b+k\Leftrightarrow b(k-1)\leq k\Rightarrow b\leq \frac{k}{k-1}<1\Rightarrow b=0$ (loại)

Khả năng $2$: $\gcd(a,3)=3\Rightarrow 3\mid a\Rightarrow b\equiv 2(\mod3)$.

Đặt $a=3c,b=3d+2$. (*) trở thành: $\left\{\begin{matrix} 3d+2\mid 9c^2+1\\9c^2\mid (3d+3)(9d^2+9d+3) \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow c^2\mid (d+1)(3d^2+3d+1)\Rightarrow c^2\mid d+1$ hoặc $c^2\mid 3d^2+3d+1$ (do $\gcd (d+1,3d^2+3d+1)=1$

- $c^2\mid d+1$. Xét các trường hợp sau:

+ $d+1=c^2\Rightarrow 3d+2=3(d+1)-1=3c^2-1\Rightarrow 3c^2\mid 9c^2+1\Leftrightarrow 3c^2-1\mid 12c^2$ (mâu thuẫn)

+ $d+1=2c^2\Rightarrow 6c^2-1\mid 15c^2$ (mâu thuẫn)

+ $d+1=3c^2\Rightarrow 9c^2\mid 2$ (mâu thuẫn)

+ $d+1>3c^2\Rightarrow d\geq 3c2\Rightarrow 3d+2>9c^2+1$ (mâu thuẫn)

- $c^2\mid 3d^2+3d+1$. Đặt $9c^2+1=k(3d+2)\Rightarrow c^2=\frac{3kd+2k-1}{9}$

$\Rightarrow \frac {k(3d+2)-1}{9}\mid 3d^2+3d+1\Rightarrow k(3d+2)-1\mid (3d+2)(9d+3)+3\Leftrightarrow k(3d+2)-1\mid (3d+2)(9d+3+3k)$

$\Rightarrow k(3d+2)-1\mid 9d+3+3k$. Xét giá trị của $k$. Để ý với $k>6$ thì $k(3d+2)-1-9d-3-3k\geq 3k-9-k-4=2k-13>0$.

Kết luận:....

PS. Lời giải của em sai rồi, như chị ngocanh99 nói ở dưới!

Edited by baopbc, 11-08-2016 - 19:43.

[Chris yang]

 

Khả năng $1$: $\gcd(a,3)=1$. Ta có $\gcd (b+1,b^2+b+1)\mid 3$ nên $a^2\mid b+1$ hoặc $a^2\mid b^2-b+1$

 

Khả năng này có thể xảy ra nếu $a$ là số nguyên tố thôi em nhé!

[baopbc]

Khả năng này có thể xảy ra nếu $a$ là số nguyên tố thôi em nhé!

Chị có thể đưa ra chứng minh được không ạ?

Nếu vậy thì đâu ảnh hưởng gì lắm nhỉ?

[Chris yang]

Chị có thể đưa ra chứng minh được không ạ?

Nếu vậy thì đâu ảnh hưởng gì lắm nhỉ?

Ơ ảnh hưởng chứ nhỉ   

TH đểu nhất là $(b+1,b^2+b+1)=1$ đi, Cái số $a$ có hai ước nguyên tố cùng nhau, mỗi ước lại là ước của $b+1$ và $b^2+b+1$. Lúc đấy cái khả năng 1 của em nó không còn đơn giản như thế kia đâu!