Chủ đề này có 3 trả lời

[tienduc]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c\leq \frac{3}{2}$. Tìm Min 

$P=\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$

[NTA1907]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c\leq \frac{3}{2}$. Tìm Min 

$P=\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$

Áp dụng bất đẳng thức Min-cốp-xki và AM-GM ta có:

$P\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}}\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+\frac{81}{(a+b+c)^{2}}}=\sqrt{\left [ (a+b+c)^{2}+\frac{81}{16(a+b+c)^{2}} \right ]+\frac{1215}{16(a+b+c)^{2}}}\geq \sqrt{2\sqrt{\frac{81}{16}}+\frac{1215}{16.(\frac{3}{2})^{2}}}=\frac{3\sqrt{17}}{2}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}$

[githenhi512]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c\leq \frac{3}{2}$. Tìm Min 

$P=\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$

$(a^{2}+\frac{1}{b^{2}})(\frac{1}{4}+4)\geq (\frac{a}{2}+\frac{2}{b})^{2}$

Tương tự tc: $P.\frac{\sqrt{17}}{2}\geq 0.5(a+b+c)+2\sum \frac{1}{a}\geq 0.5\sum a+\frac{18}{\sum a}=0.5\sum a+\frac{1.125}{\sum a}+\frac{16.875}{\sum a}\geq 1.5+\frac{16.875}{1.5}=12.75$

$\Rightarrow P\geq \frac{51}{2\sqrt{17}}$

Dấu ''='' xr khi a=b=c=0.5

[cristianoronaldo]

Theo BDT Cauchy-Schwars ta có:

$(1^2+4^2)(a^2+\frac{1}{b^2})\geq (a+\frac{4}{b})^2$

=>$\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}\geq \frac{1}{\sqrt{17}}.(a+\frac{4}{b})$

Tương tự ta có:

$\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}\geq \frac{1}{\sqrt{17}}.(b+\frac{4}{c})$

$\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\geq \frac{1}{\sqrt{17}}.(c+\frac{4}{a})$

Cộng theo vế ta có:

P$\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(\sum a+\sum \frac{4}{a}) \geq \frac{1}{\sqrt{17}}(\sum a+\frac{36}{\sum a}) =\frac{1}{\sqrt{17}}(\sum a+\frac{9}{4.\sum a}+\frac{135}{4.\sum a}) \geq \frac{1}{\sqrt{17}}(2.\frac{3}{2}+\frac{135}{4}.\frac{2}{3}) = \frac{3\sqrt{17}}{2}$

Dấu = xay ra khi a=b=c=1/2