3 replies to this topic

[Dark Magician 2k2]

Cho a,b là các số thực dương. 

Chứng minh rằng

$\frac{a+b+a^2b^2}{ab}+\frac{54ab}{(a+b)ab+6ab+1}\geq 9$

 

 

___________________________________________________

 

 

P/s: Sau 3 ngày nếu không có ai trả lời hay lời giải khác cách của mình thì mình sẽ gửi lời giải.

Edited by Dark Magician 2k2, 04-05-2016 - 16:14.

[Dark Magician 2k2]

Cho a,b là các số thực dương. 

Chứng minh rằng

$\frac{a+b+a^2b^2}{ab}+\frac{54ab}{(a+b)ab+6ab+1}\geq 9$

 

 

___________________________________________________

 

 

P/s: Sau 3 ngày nếu không có ai trả lời hay lời giải khác cách của mình thì mình sẽ gửi lời giải.

 

Đây là lời giải của mình

Đặt

$\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{a}; y=\frac{1}{b}; z=ab\\ p=x+y+z\\q=xy+yz+zx\\ r=xyz=1 \end{matrix}\right.$

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

$x+y+z+\frac{54}{xy+yz+zx+6}\geq 9$

$\Leftrightarrow pq+6p\geq 9q$

Ta có bất đẳng thức quen thuộc sau

$p^2q+3pr\geq 4q^2$

$\Leftrightarrow p^2q+3p\geq 4q^2$

$\Leftrightarrow p\geq \frac{-3+\sqrt{9+16q^3}}{2q}$

Mặt khác, với $q\geq 3$ ta có

$\frac{-3+\sqrt{9+16q^3}}{2q}\geq \frac{9q}{q+6}$

Do đó

$p\geq\frac{9q}{q+6}$

Như vậy bất đẳng thức được chứng minh

Dấu $"="$ xảy ra

$\Leftrightarrow a=b=c=1.$

Edited by Dark Magician 2k2, 08-05-2016 - 08:17.

[lily evans]

Đây là lời giải của mình

Đặt

$\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{a}; y=\frac{1}{b}; z=ab\\ p=x+y+z\\q=xy+yz+zx\\ r=xyz=1 \end{matrix}\right.$

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

$x+y+z+\frac{54}{xy+yz+zx+6}\geq 9$

$\Leftrightarrow pq+6p\geq 9q$

Ta có bất đẳng thức quen thuộc sau

$p^2q+3pr\geq 4q^2$

$\Leftrightarrow p^2q+3p\geq 4q^2$

$\Leftrightarrow p\geq \frac{-3+\sqrt{9+16q^3}}{2q}$

Mặt khác, với $q\geq 3$ ta có

$\frac{-3+\sqrt{9+16q^3}}{2q}\geq \frac{9q}{q+6}$

Do đó

$p\geq\frac{9q}{q+6}$

Như vậy bất đẳng thức được chứng minh

Dấu $"="$ xảy ra

$\Leftrightarrow a=b=c=1.$

Bạn ơi, làm sao để bạn nghĩ ra được hướng giải này vậy?

[Dark Magician 2k2]

Bạn ơi, làm sao để bạn nghĩ ra được hướng giải này vậy?

Thử tất cả các cách, các hướng có thể

Thực ra bài này có sự hỗ trợ của thầy mình ở đoạn này 

 

Ta có bất đẳng thức quen thuộc sau

$p^2q+3pr\geq 4q^2$

$\Leftrightarrow p^2q+3p\geq 4q^2$

$\Leftrightarrow p\geq \frac{-3+\sqrt{9+16q^3}}{2q}$

Edited by Dark Magician 2k2, 08-05-2016 - 08:26.