Cho $a,b,c > 0$ và $ab+bc+ca=3$. Tìm Min
$P=\frac{1+3a}{1+b^{2}}+\frac{1+3b}{1+c^{2}}+\frac{1+3c}{1+a^{2}}$
Tìm Min $P=\frac{1+3a}{1+b^{2}}+\frac{1+3b}{1+c^{2}}+\frac{1+3c}{1+a^{2}}$
Bắt đầu bởi tienduc, 04-05-2016 - 20:35
#2
Đã gửi 04-05-2016 - 20:55
LuaMi
-
- Thành viên mới
-
- 46 Bài viết
Binh nhất
Ta có: $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)=9\Rightarrow a+b+c\geq 3$
$P=\sum \frac{1}{1+b^2}+3\sum \frac{a}{1+b^2}=3-\sum \frac{b^2}{1+b^2}+3(a-\frac{ab^2}{1+b^2})$
$\geq 3-\sum \frac{a}{2}+3(\sum a-\sum\frac{ab}{2})=\frac{5}{2}\sum a-\frac{3}{2}\geq 6$
Vậy $min P=6\Leftrightarrow a=b=c=1$
#3
Đã gửi 04-05-2016 - 20:59
Nam Duong
-
- Thành viên
-
- 105 Bài viết
Trung sĩ
$P=\sum\frac{1+3a}{1+b^2}=3+\sum 3a-\sum\frac{b^2(3a+1)}{b^2+1} \ge 3+\frac{5}{2}\sum a-\frac{3}{2}\sum ab \ge 6$
dấu "=" tại $(a;b;c)(1;1;1)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nam Duong: 06-05-2016 - 08:10
- tquangmh yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
