Giải phương trình nghiệm nguyên: $3^x - 2^y = z^2$
$3^x - 2^y = z^2$
#1
Đã gửi 05-05-2016 - 22:30
#2
Đã gửi 05-05-2016 - 23:14
Nếu $x$ lẻ thì ta có $3^x \equiv 3 \pmod{4}$
Xet nếu $y=0$ thì ta có $3^x-1=z^2 \equiv 2 \pmod{3}$ với $x \ge 1$ do đó $(x,y,z)=(1,0,0)$ là một nghiệm của phương trình
$y =1$ thì ta có $3^x-2=z^2 \equiv 1\pmod{3}$ tương tự suy ra phương trình này vô nghiệm
đến đây ta dễ giải ra nghiệm là $(x,y,z)=(1,1,0)$
$y \ge 2$ thì nếu $x$ lẻ thì $3^x-2^y=z^2 \equiv 3 \mod{4}$ (vô lí)
Do đó $x$ chẵn thì đặt $x=2k$ ($k$ là số tự nhiên)
Xét $x=0$ suy ra $y=0$ suy ra $z=0$ suy ra $(x,y,z)=(0,0,0)$
$x \ge 2$ thì ta có $(3^k-z)(3^k+z)=2^y$
Suy ra $\begin{cases} &3^k-z=2^{m}&\\&3^k+z=2^{y-m}& \end{cases}$
Dễ thấy $y>2m$ . Ta có $-2z=2^{m}-2^{y-m}$ . Dễ thấy $z$ là một số lẻ (vì $3^x-2^y=z^2$ )
Nếu $m,y-m \ge 2$ thì ta có $v_2(2^m-2^{y-m}) \ge 2$ . Mà $v_2(-2z)=1$ do vậy nên
Ta xét $m=1$ thì ta có $3^k-z=2$ và $3^k+z=2^{y-1}$ .
Do $z=3^k-2 \equiv 1 \pmod{3}$ do vậy $2^{y-1} \equiv 1 \pmod{3}$ do đó $y$ lẻ
Khi đó $z=2^{y-2}-1$
Khi đó $3^x=2^{y-1}+2^{2y-4}+1 \equiv 1 \pmod{3}$ (vô lí)
Ta xét $y=1+m$
Khi đó ta có $3^k-z=2^{m},3^k+z=2$ khi đó dễ suy ra $z=1,k=0$ suy ra $z=1$ và $x=0$ thế vào phương trình ta thấy vô nghiệm
Ta xét $y=1+m,m=1$ khi đó $y=2$ dẫn đến cũng vô nghiệm.
Ta xét $y=m$ và $m=0$ thì cũng thấy vô nghiệm.
Kết luận : ....
P/s : Lời giải mình thì đáp số chưa chắc nhưng hướng đi thì đúng rồi (11h chưa ôn bài xong nên bạn thông cảm kiểm tra lại dùm mình )
- PlanBbyFESN và CaptainCuong thích
#3
Đã gửi 06-05-2016 - 16:30
Nếu $x$ lẻ thì ta có $3^x \equiv 3 \pmod{4}$
Xet nếu $y=0$ thì ta có $3^x-1=z^2 \equiv 2 \pmod{3}$ với $x \ge 1$ do đó $(x,y,z)=(1,0,0)$ là một nghiệm của phương trình
$y =1$ thì ta có $3^x-2=z^2 \equiv 1\pmod{3}$ tương tự suy ra phương trình này vô nghiệm
đến đây ta dễ giải ra nghiệm là $(x,y,z)=(1,1,0)$
$y \ge 2$ thì nếu $x$ lẻ thì $3^x-2^y=z^2 \equiv 3 \mod{4}$ (vô lí)
Do đó $x$ chẵn thì đặt $x=2k$ ($k$ là số tự nhiên)
Xét $x=0$ suy ra $y=0$ suy ra $z=0$ suy ra $(x,y,z)=(0,0,0)$
$x \ge 2$ thì ta có $(3^k-z)(3^k+z)=2^y$
Suy ra $\begin{cases} &3^k-z=2^{m}&\\&3^k+z=2^{y-m}& \end{cases}$
Dễ thấy $y>2m$ . Ta có $-2z=2^{m}-2^{y-m}$ . Dễ thấy $z$ là một số lẻ (vì $3^x-2^y=z^2$ )
Nếu $m,y-m \ge 2$ thì ta có $v_2(2^m-2^{y-m}) \ge 2$ . Mà $v_2(-2z)=1$ do vậy nên
Ta xét $m=1$ thì ta có $3^k-z=2$ và $3^k+z=2^{y-1}$ .Do $z=3^k-2 \equiv 1 \pmod{3}$ do vậy $2^{y-1} \equiv 1 \pmod{3}$ do đó $y$ lẻ
Khi đó $z=2^{y-2}-1$
Khi đó $3^x=2^{y-1}+2^{2y-4}+1 \equiv 1 \pmod{3}$ (vô lí)
Ta xét $y=1+m$
Khi đó ta có $3^k-z=2^{m},3^k+z=2$ khi đó dễ suy ra $z=1,k=0$ suy ra $z=1$ và $x=0$ thế vào phương trình ta thấy vô nghiệm
Ta xét $y=1+m,m=1$ khi đó $y=2$ dẫn đến cũng vô nghiệm.
Ta xét $y=m$ và $m=0$ thì cũng thấy vô nghiệm.
Kết luận : ....
P/s : Lời giải mình thì đáp số chưa chắc nhưng hướng đi thì đúng rồi (11h chưa ôn bài xong nên bạn thông cảm kiểm tra lại dùm mình )
Xem lại mấy dòng tô đỏ
Với lại cậu có cách khác để chứng minh dòng màu xanh cho phù hợp với kiến thức THCS không?
#4
Đã gửi 06-05-2016 - 17:09
Xem lại mấy dòng tô đỏ
Với lại cậu có cách khác để chứng minh dòng màu xanh cho phù hợp với kiến thức THCS không?
Chỗ màu đỏ chắc bạn đó ghi nhầm
Chỗ màu xanh thì như sau : Ta có $-2z=2^m-2^{y-m}=-2^m(2^{y-2m}-1)$ nên $-2^m\mid -2z$ hay $2^{m-1}\mid z$ vô lý do $z$ lẻ và $m\geq 2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ankh: 06-05-2016 - 17:09
- hoctrocuaHolmes và Dark Magician 2k2 thích
#5
Đã gửi 06-05-2016 - 21:42
Nếu $x$ lẻ thì ta có $3^x \equiv 3 \pmod{4}$
Xet nếu $y=0$ thì ta có $3^x-1=z^2 \equiv 2 \pmod{3}$ với $x \ge 1$ do đó $(x,y,z)=(1,0,0)$ là một nghiệm của phương trình
$y =1$ thì ta có $3^x-2=z^2 \equiv 1\pmod{3}$ tương tự suy ra phương trình này vô nghiệm
đến đây ta dễ giải ra nghiệm là $(x,y,z)=(1,1,0)$
$y \ge 2$ thì nếu $x$ lẻ thì $3^x-2^y=z^2 \equiv 3 \mod{4}$ (vô lí)
Do đó $x$ chẵn thì đặt $x=2k$ ($k$ là số tự nhiên)
Xét $x=0$ suy ra $y=0$ suy ra $z=0$ suy ra $(x,y,z)=(0,0,0)$
$x \ge 2$ thì ta có $(3^k-z)(3^k+z)=2^y$
Suy ra $\begin{cases} &3^k-z=2^{m}&\\&3^k+z=2^{y-m}& \end{cases}$
Dễ thấy $y>2m$ . Ta có $-2z=2^{m}-2^{y-m}$ . Dễ thấy $z$ là một số lẻ (vì $3^x-2^y=z^2$ )
Nếu $m,y-m \ge 2$ thì ta có $v_2(2^m-2^{y-m}) \ge 2$ . Mà $v_2(-2z)=1$ do vậy nên
Ta xét $m=1$ thì ta có $3^k-z=2$ và $3^k+z=2^{y-1}$ .Do $z=3^k-2 \equiv 1 \pmod{3}$ do vậy $2^{y-1} \equiv 1 \pmod{3}$ do đó $y$ lẻ
Khi đó $z=2^{y-2}-1$
Khi đó $3^x=2^{y-1}+2^{2y-4}+1 \equiv 1 \pmod{3}$ (vô lí)
Ta xét $y=1+m$
Khi đó ta có $3^k-z=2^{m},3^k+z=2$ khi đó dễ suy ra $z=1,k=0$ suy ra $z=1$ và $x=0$ thế vào phương trình ta thấy vô nghiệm
Ta xét $y=1+m,m=1$ khi đó $y=2$ dẫn đến cũng vô nghiệm.
Ta xét $y=m$ và $m=0$ thì cũng thấy vô nghiệm.
Kết luận : ....
P/s : Lời giải mình thì đáp số chưa chắc nhưng hướng đi thì đúng rồi (11h chưa ôn bài xong nên bạn thông cảm kiểm tra lại dùm mình )
Sửa lại đoạn đầu đi anh , sao mà $z^2$ đồng dư với 2 mod 3 được
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh