Cho $a,b$ là các số nguyên dương.Tìm $n$ nguyên dương để tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho $\frac{1}{p}=\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}$
Tìm $n$ nguyên dương để tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho $\frac{1}{p}=\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}$
#1
Đã gửi 10-05-2016 - 09:31
#2
Đã gửi 10-05-2016 - 10:46
Cho $a,b$ là các số nguyên dương.Tìm $n$ nguyên dương để tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho $\frac{1}{p}=\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}$
Từ giả thiết ta suy ra: $a,b>1$
Ta có:
$$\frac{1}{p}=\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}\Leftrightarrow a^np+b^np=a^nb^n(1)$$
Đặt $(a,b)=d\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=da' \\ b=db' \end{matrix}\right.((a',b')=1)$. Khi đó:
$$(1)\Leftrightarrow d^n.a'^n.p+d^n.b'^n.p=d^{2n}b.a'^n.b'^n$$
$$\Leftrightarrow p.a'^n+p.b'^n=d^n.a'^n.b'^n(2)$$
Từ $(2)\Rightarrow p.b'^n\vdots a'^n$ mà $(a',b')=1$ suy ra $(a'^n,b'^n)=1$
Do đó $p\vdots a'^n$. Xét 2 TH:
$+)$ $a'=1$. Từ $(2)\Rightarrow p+p.b'^n=d^n.b'^n\Rightarrow p\vdots b'^n\Rightarrow \begin{bmatrix} b'=1 \\ n=1 \end{bmatrix}$
Xét TH $b'=1\Rightarrow a=b=d\Rightarrow \frac{2}{a^n}=\frac{2}{2p}\Rightarrow a^n=2p$ mà $p$ nguyên tố $\Rightarrow a=p=n=2$
Xét TH $n=1$ thì chỉ cần $a=b=2p$ là được.
$+)$ $a'>1(\text{Loại vì} p\vdots a'^n)$
Vậy $n\in \left \{ 1;2 \right \}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 10-05-2016 - 11:10
- hoctrocuaHolmes, ineX và tquangmh thích
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
#3
Đã gửi 10-05-2016 - 10:52
Điều kiện đề bài : $\Leftrightarrow p(a^{n} + b^{n})=a^{n}b^{n} \Rightarrow a^{n}b^{n}\vdots p\Rightarrow a\vdots p , b\vdots p(1). Mặt khác: a^{n}b^{n}\vdots p\Rightarrow a^{n}b^{n}\vdots p^{n}\Rightarrow p(a^{n}+b^{n})\vdots p^{n}\Rightarrow a^{n}+b^{n} \vdots p .Từ (1) \Rightarrow a\vdots p;b\vdots p$$\Rightarrow \frac{1}{p^{n}}\geq \frac{1}{a^{n}}, \frac{1}{p^{n}}\geq \frac{1}{b^{n}}\Rightarrow \frac{1}{p}=\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}\leq \frac{2}{p^{n}}\Rightarrow 2\geq p^{n-1}\Rightarrow n=1,2$
Mình làm thử, không biết đúng không, nếu sai mong các bạn sửa giúp
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lareadx: 10-05-2016 - 11:02
- hoctrocuaHolmes, ineX, tquangmh và 1 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 12-05-2016 - 18:40
Lời giải của bạn/em theo mình đều hay
Các bạn hãy thử sức với bài toán tổng quát hơn
- Cho $a,b$ là các số nguyên dương.Tìm $n$ nguyên dương để tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho $\frac{1}{p^n }=\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}$
- Cho $a,b$ là các số nguyên dương.Tìm $n,k$ nguyên dương để tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho $\frac{1}{p^k }=\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 12-05-2016 - 18:41
- tpdtthltvp, ineX, goopd và 1 người khác yêu thích
#5
Đã gửi 12-05-2016 - 19:01
$\Rightarrow a^{n}b^{n}\vdots p\Rightarrow a\vdots p , b\vdots p(1)$
Mình thì nghĩ đoạn này có gì đó sai sai
Bởi vì khi $a^{n}b^{n}\vdots p$ thì chỉ cần $a\vdots p$ hoặc $b\vdots p$ là thỏa mãn thôi chứ?
#6
Đã gửi 12-05-2016 - 19:03
Từ giả thiết ta suy ra: $a,b>1$
Ta có:
$$\frac{1}{p}=\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}\Leftrightarrow a^np+b^np=a^nb^n(1)$$
Đặt $(a,b)=d\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=da' \\ b=db' \end{matrix}\right.((a',b')=1)$. Khi đó:
$$(1)\Leftrightarrow d^n.a'^n.p+d^n.b'^n.p=d^{2n}b.a'^n.b'^n$$
$$\Leftrightarrow p.a'^n+p.b'^n=d^n.a'^n.b'^n(2)$$
Từ $(2)\Rightarrow p.b'^n\vdots a'^n$ mà $(a',b')=1$ suy ra $(a'^n,b'^n)=1$
Do đó $p\vdots a'^n$. Xét 2 TH:
$+)$ $a'=1$. Từ $(2)\Rightarrow p+p.b'^n=d^n.b'^n\Rightarrow p\vdots b'^n\Rightarrow \begin{bmatrix} b'=1 \\ n=1 \end{bmatrix}$
Xét TH $b'=1\Rightarrow a=b=d\Rightarrow \frac{2}{a^n}=\frac{2}{2p}\Rightarrow a^n=2p$ mà $p$ nguyên tố $\Rightarrow a=p=n=2$
Xét TH $n=1$ thì chỉ cần $a=b=2p$ là được.
$+)$ $a'>1(\text{Loại vì} p\vdots a'^n)$
Vậy $n\in \left \{ 1;2 \right \}$
Sao lại suy ra được điều này nhỉ? Nó là tổng chứ đâu phải tích hay lũy thừa????
Ví dụ như $1+2=3$ lẽ nào $1\vdots 3$ ???????
Mình thấy dù nó là SNT cũng không ảnh hưởng gì ở đây cả
#7
Đã gửi 12-05-2016 - 19:12
Sao lại suy ra được điều này nhỉ? Nó là tổng chứ đâu phải tích hay lũy thừa????
Ví dụ như $1+2=3$ lẽ nào $1\vdots 3$ ???????
Mình thấy dù nó là SNT cũng không ảnh hưởng gì ở đây cả
$\left\{\begin{matrix} x+y=z \\ x\vdots m \\ z\vdots m \end{matrix}\right.\Rightarrow y\vdots m$
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
#8
Đã gửi 12-05-2016 - 19:51
Các bạn hãy thử sức với bài toán tổng quát hơn
- Cho $a,b$ là các số nguyên dương.Tìm $n$ nguyên dương để tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho $\frac{1}{p^n }=\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}$
Ta có:
$$\frac{1}{p^n }=\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}\Leftrightarrow a^np^n+b^np^n=a^nb^n\Leftrightarrow (ap)^n+(bp)^n=(ab)^n$$
Áp dụng định lí $Fermat$ lớn $\Rightarrow n\leq 2$. Xét các TH:
$\oplus n=2\Rightarrow a^2p^2+b^2p^2=a^2b^2(1)\Rightarrow a^2b^2\vdots p^2\Rightarrow ab\vdots p$. Mà $p$ là SNT nên hoặc $a\vdots p$ hoặc $b\vdots p$. Không mất tính tổng quát, giả sử $a=pk\Rightarrow (1)\Leftrightarrow p^2k^2+b^2=k^2b^2(2)\Rightarrow b=tk$.
Và $(2)\Leftrightarrow p^2+t^2=t^2k^2\Rightarrow p\vdots t\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=1 \\ t=p\end{bmatrix}$
$+)$ Với $t=1\Rightarrow b=k\Rightarrow a=pb\Rightarrow p^4b^2+b^2p^2=p^2b^4\Rightarrow p^2+1=b^2\Rightarrow p=0(L)$
$+)$ Với $t=p\Rightarrow a=b\Rightarrow 2a^2p^2=a^4\Rightarrow 2p^2=a^2$. Xét số dư khi chia cho $3$ được $p=3\Rightarrow \frac{1}{9}=\frac{2}{a^2}\Leftrightarrow a^2=18(L)$
$\oplus n=1$ thì tương tự ý $2$ trường hợp 1 bài trên.
Vậy $n=1$.
- hoctrocuaHolmes, PlanBbyFESN và ineX thích
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
#9
Đã gửi 12-05-2016 - 21:22
Mình thì nghĩ đoạn này có gì đó sai sai
Bởi vì khi $a^{n}b^{n}\vdots p$ thì chỉ cần $a\vdots p$ hoặc $b\vdots p$ là thỏa mãn thôi chứ?
Mình không nghĩ đoạn đó có vấn đề lớn,chỉ đơn thuần là bạn ấy ghi nhầm thôi.Xem toàn bài của bạn ấy bạn sẽ hiểu
Ta có:
$$\frac{1}{p^n }=\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}\Leftrightarrow a^np^n+b^np^n=a^nb^n\Leftrightarrow (ap)^n+(bp)^n=(ab)^n$$
Áp dụng định lí $Fermat$ lớn $\Rightarrow n\leq 2$. Xét các TH:
$\oplus n=2\Rightarrow a^2p^2+b^2p^2=a^2b^2(1)\Rightarrow a^2b^2\vdots p^2\Rightarrow ab\vdots p$. Mà $p$ là SNT nên hoặc $a\vdots p$ hoặc $b\vdots p$. Không mất tính tổng quát, giả sử $a=pk\Rightarrow (1)\Leftrightarrow p^2k^2+b^2=k^2b^2(2)\Rightarrow b=tk$.
Và $(2)\Leftrightarrow p^2+t^2=t^2k^2\Rightarrow p\vdots t\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=1 \\ t=p\end{bmatrix}$
$+)$ Với $t=1\Rightarrow b=k\Rightarrow a=pb\Rightarrow p^4b^2+b^2p^2=p^2b^4\Rightarrow p^2+1=b^2\Rightarrow p=0(L)$
$+)$ Với $t=p\Rightarrow a=b\Rightarrow 2a^2p^2=a^4\Rightarrow 2p^2=a^2$. Xét số dư khi chia cho $3$ được $p=3\Rightarrow \frac{1}{9}=\frac{2}{a^2}\Leftrightarrow a^2=18(L)$
$\oplus n=1$ thì tương tự ý $2$ trường hợp 1 bài trên.
Vậy $n=1$.
Tuyệt vời
Hãy tiếp tục xem xét thêm vấn đề sau
Cho $a,b$ là các số nguyên dương.Tìm $n,k$ nguyên dương để tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho $\frac{2k}{p}=\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}$
....
Và hãy tiếp tục mở rộng bài toán nếu có thể
- tpdtthltvp và goopd thích
#10
Đã gửi 12-05-2016 - 21:33
Điều kiện đề bài : $\Leftrightarrow p(a^{n} + b^{n})=a^{n}b^{n} \Rightarrow a^{n}b^{n}\vdots p\Rightarrow a\vdots p , b\vdots p(1). Mặt khác: a^{n}b^{n}\vdots p\Rightarrow a^{n}b^{n}\vdots p^{n}\Rightarrow p(a^{n}+b^{n})\vdots p^{n}\Rightarrow a^{n}+b^{n} \vdots p .Từ (1) \Rightarrow a\vdots p;b\vdots p$$\Rightarrow \frac{1}{p^{n}}\geq \frac{1}{a^{n}}, \frac{1}{p^{n}}\geq \frac{1}{b^{n}}\Rightarrow \frac{1}{p}=\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}\leq \frac{2}{p^{n}}\Rightarrow 2\geq p^{n-1}\Rightarrow n=1,2$
Mình làm thử, không biết đúng không, nếu sai mong các bạn sửa giúp
Mình không nghĩ đoạn đó có vấn đề lớn,chỉ đơn thuần là bạn ấy ghi nhầm thôi.Xem toàn bài của bạn ấy bạn sẽ hiểu
Vậy thì có lẽ mình không hiểu bài của bạn ấy rồi
Vậy bạn giải thích cho mình chỗ này được không?
#11
Đã gửi 12-05-2016 - 21:42
Vậy thì có lẽ mình không hiểu bài của bạn ấy rồi
Vậy bạn giải thích cho mình chỗ này được không?
Bạn ấy chỉ sai kí hiệu toán học thôi mà bạn có thể để ý cái đoạn tô đỏ bạn ấy đã chứng minh lại $a\vdots p;b\vdots p$ .Chỉ sửa lại cái đoạn bạn thắc mắc thành dấu hoặc là ok
Điều kiện đề bài : $\Leftrightarrow p(a^{n} + b^{n})=a^{n}b^{n} \Rightarrow a^{n}b^{n}\vdots p\Rightarrow a\vdots p , b\vdots p(1). Mặt khác: a^{n}b^{n}\vdots p\Rightarrow a^{n}b^{n}\vdots p^{n}\Rightarrow p(a^{n}+b^{n})\vdots p^{n}\Rightarrow a^{n}+b^{n} \vdots p .Từ (1) $$\Rightarrow a\vdots p;b\vdots p$$\Rightarrow \frac{1}{p^{n}}\geq \frac{1}{a^{n}}, \frac{1}{p^{n}}\geq \frac{1}{b^{n}}\Rightarrow \frac{1}{p}=\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}\leq \frac{2}{p^{n}}\Rightarrow 2\geq p^{n-1}\Rightarrow n=1,2$
Mình làm thử, không biết đúng không, nếu sai mong các bạn sửa giúp
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 12-05-2016 - 21:43
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh