Chủ đề này có 10 trả lời

[hoctrocuaHolmes]

Cho $a,b$ là các số nguyên dương.Tìm $n$ nguyên dương để tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho $\frac{1}{p}=\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}$

[tpdtthltvp]

Cho $a,b$ là các số nguyên dương.Tìm $n$ nguyên dương để tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho $\frac{1}{p}=\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}$

Từ giả thiết ta suy ra: $a,b>1$

Ta có:

$$\frac{1}{p}=\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}\Leftrightarrow a^np+b^np=a^nb^n(1)$$

Đặt $(a,b)=d\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=da' \\ b=db' \end{matrix}\right.((a',b')=1)$. Khi đó:

$$(1)\Leftrightarrow d^n.a'^n.p+d^n.b'^n.p=d^{2n}b.a'^n.b'^n$$

$$\Leftrightarrow p.a'^n+p.b'^n=d^n.a'^n.b'^n(2)$$

Từ $(2)\Rightarrow p.b'^n\vdots a'^n$ mà $(a',b')=1$ suy ra $(a'^n,b'^n)=1$

Do đó $p\vdots a'^n$. Xét 2 TH:

$+)$ $a'=1$. Từ $(2)\Rightarrow p+p.b'^n=d^n.b'^n\Rightarrow p\vdots b'^n\Rightarrow \begin{bmatrix} b'=1 \\ n=1 \end{bmatrix}$

Xét TH $b'=1\Rightarrow a=b=d\Rightarrow \frac{2}{a^n}=\frac{2}{2p}\Rightarrow a^n=2p$ mà $p$ nguyên tố $\Rightarrow a=p=n=2$

Xét TH $n=1$ thì chỉ cần $a=b=2p$ là được.

$+)$ $a'>1(\text{Loại vì} p\vdots a'^n)$

Vậy $n\in \left \{ 1;2 \right \}$

Chém láo!   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 10-05-2016 - 11:10

[Lareadx]

Điều kiện đề bài : $\Leftrightarrow p(a^{n} + b^{n})=a^{n}b^{n} \Rightarrow a^{n}b^{n}\vdots p\Rightarrow a\vdots p , b\vdots p(1).  Mặt khác:  a^{n}b^{n}\vdots p\Rightarrow a^{n}b^{n}\vdots p^{n}\Rightarrow p(a^{n}+b^{n})\vdots p^{n}\Rightarrow a^{n}+b^{n} \vdots p .Từ (1) \Rightarrow a\vdots p;b\vdots p$$\Rightarrow \frac{1}{p^{n}}\geq \frac{1}{a^{n}}, \frac{1}{p^{n}}\geq \frac{1}{b^{n}}\Rightarrow \frac{1}{p}=\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}\leq \frac{2}{p^{n}}\Rightarrow 2\geq p^{n-1}\Rightarrow n=1,2$ 

Mình làm thử, không biết đúng không, nếu sai mong các bạn sửa giúp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lareadx: 10-05-2016 - 11:02

[hoctrocuaHolmes]

 

 

 

Lời giải của bạn/em theo mình đều hay

Các bạn hãy thử sức với bài toán tổng quát hơn

• Cho $a,b$ là các số nguyên dương.Tìm $n$ nguyên dương để tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho $\frac{1}{p^n }=\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}$
• Cho $a,b$ là các số nguyên dương.Tìm $n,k$ nguyên dương để tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho $\frac{1}{p^k }=\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 12-05-2016 - 18:41

[ngochapid]

$\Rightarrow a^{n}b^{n}\vdots p\Rightarrow a\vdots p , b\vdots p(1)$

Mình thì nghĩ đoạn này có gì đó sai sai

Bởi vì khi $a^{n}b^{n}\vdots p$ thì chỉ cần $a\vdots p$ hoặc $b\vdots p$ là thỏa mãn thôi chứ?

[ngochapid]

Từ giả thiết ta suy ra: $a,b>1$

Ta có:

$$\frac{1}{p}=\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}\Leftrightarrow a^np+b^np=a^nb^n(1)$$

Đặt $(a,b)=d\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=da' \\ b=db' \end{matrix}\right.((a',b')=1)$. Khi đó:

$$(1)\Leftrightarrow d^n.a'^n.p+d^n.b'^n.p=d^{2n}b.a'^n.b'^n$$

$$\Leftrightarrow p.a'^n+p.b'^n=d^n.a'^n.b'^n(2)$$

Từ $(2)\Rightarrow p.b'^n\vdots a'^n$ mà $(a',b')=1$ suy ra $(a'^n,b'^n)=1$

Do đó $p\vdots a'^n$. Xét 2 TH:

$+)$ $a'=1$. Từ $(2)\Rightarrow p+p.b'^n=d^n.b'^n\Rightarrow p\vdots b'^n\Rightarrow \begin{bmatrix} b'=1 \\ n=1 \end{bmatrix}$

Xét TH $b'=1\Rightarrow a=b=d\Rightarrow \frac{2}{a^n}=\frac{2}{2p}\Rightarrow a^n=2p$ mà $p$ nguyên tố $\Rightarrow a=p=n=2$

Xét TH $n=1$ thì chỉ cần $a=b=2p$ là được.

$+)$ $a'>1(\text{Loại vì} p\vdots a'^n)$

Vậy $n\in \left \{ 1;2 \right \}$

Chém láo!   

Sao lại suy ra được điều này nhỉ? Nó là tổng chứ đâu phải tích hay lũy thừa????

Ví dụ như $1+2=3$ lẽ nào $1\vdots 3$ ??????? 

Mình thấy dù nó là SNT cũng không ảnh hưởng gì ở đây cả 

[tpdtthltvp]

Sao lại suy ra được điều này nhỉ? Nó là tổng chứ đâu phải tích hay lũy thừa????

Ví dụ như $1+2=3$ lẽ nào $1\vdots 3$ ??????? 

Mình thấy dù nó là SNT cũng không ảnh hưởng gì ở đây cả 

$\left\{\begin{matrix} x+y=z \\ x\vdots m \\ z\vdots m \end{matrix}\right.\Rightarrow y\vdots m$

[tpdtthltvp]

Các bạn hãy thử sức với bài toán tổng quát hơn

• Cho $a,b$ là các số nguyên dương.Tìm $n$ nguyên dương để tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho $\frac{1}{p^n }=\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}$

Lại là 1 sự liều lĩnh!

Ta có:

$$\frac{1}{p^n }=\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}\Leftrightarrow a^np^n+b^np^n=a^nb^n\Leftrightarrow (ap)^n+(bp)^n=(ab)^n$$ 

Áp dụng định lí $Fermat$ lớn $\Rightarrow n\leq 2$. Xét các TH:

$\oplus n=2\Rightarrow a^2p^2+b^2p^2=a^2b^2(1)\Rightarrow a^2b^2\vdots p^2\Rightarrow ab\vdots p$. Mà $p$ là SNT nên hoặc $a\vdots p$ hoặc $b\vdots p$. Không mất tính tổng quát, giả sử $a=pk\Rightarrow (1)\Leftrightarrow p^2k^2+b^2=k^2b^2(2)\Rightarrow b=tk$.

Và $(2)\Leftrightarrow p^2+t^2=t^2k^2\Rightarrow p\vdots t\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=1 \\ t=p\end{bmatrix}$

$+)$ Với $t=1\Rightarrow b=k\Rightarrow a=pb\Rightarrow p^4b^2+b^2p^2=p^2b^4\Rightarrow p^2+1=b^2\Rightarrow p=0(L)$

$+)$ Với $t=p\Rightarrow a=b\Rightarrow 2a^2p^2=a^4\Rightarrow 2p^2=a^2$. Xét số dư khi chia cho $3$ được $p=3\Rightarrow \frac{1}{9}=\frac{2}{a^2}\Leftrightarrow a^2=18(L)$

$\oplus n=1$ thì tương tự ý $2$ trường hợp 1 bài trên.

Vậy $n=1$.

[hoctrocuaHolmes]

Mình thì nghĩ đoạn này có gì đó sai sai

Bởi vì khi $a^{n}b^{n}\vdots p$ thì chỉ cần $a\vdots p$ hoặc $b\vdots p$ là thỏa mãn thôi chứ?

Mình không nghĩ đoạn đó có vấn đề lớn,chỉ đơn thuần là bạn ấy ghi nhầm thôi.Xem toàn bài của bạn ấy bạn sẽ hiểu

 

Lại là 1 sự liều lĩnh!

Ta có:

$$\frac{1}{p^n }=\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}\Leftrightarrow a^np^n+b^np^n=a^nb^n\Leftrightarrow (ap)^n+(bp)^n=(ab)^n$$ 

Áp dụng định lí $Fermat$ lớn $\Rightarrow n\leq 2$. Xét các TH:

$\oplus n=2\Rightarrow a^2p^2+b^2p^2=a^2b^2(1)\Rightarrow a^2b^2\vdots p^2\Rightarrow ab\vdots p$. Mà $p$ là SNT nên hoặc $a\vdots p$ hoặc $b\vdots p$. Không mất tính tổng quát, giả sử $a=pk\Rightarrow (1)\Leftrightarrow p^2k^2+b^2=k^2b^2(2)\Rightarrow b=tk$.

Và $(2)\Leftrightarrow p^2+t^2=t^2k^2\Rightarrow p\vdots t\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=1 \\ t=p\end{bmatrix}$

$+)$ Với $t=1\Rightarrow b=k\Rightarrow a=pb\Rightarrow p^4b^2+b^2p^2=p^2b^4\Rightarrow p^2+1=b^2\Rightarrow p=0(L)$

$+)$ Với $t=p\Rightarrow a=b\Rightarrow 2a^2p^2=a^4\Rightarrow 2p^2=a^2$. Xét số dư khi chia cho $3$ được $p=3\Rightarrow \frac{1}{9}=\frac{2}{a^2}\Leftrightarrow a^2=18(L)$

$\oplus n=1$ thì tương tự ý $2$ trường hợp 1 bài trên.

Vậy $n=1$.

Tuyệt vời

Hãy tiếp tục xem xét thêm vấn đề sau

Cho $a,b$ là các số nguyên dương.Tìm $n,k$ nguyên dương để tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho $\frac{2k}{p}=\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}$

....

Và hãy tiếp tục mở rộng bài toán nếu có thể

[ngochapid]

Điều kiện đề bài : $\Leftrightarrow p(a^{n} + b^{n})=a^{n}b^{n} \Rightarrow a^{n}b^{n}\vdots p\Rightarrow a\vdots p , b\vdots p(1).  Mặt khác:  a^{n}b^{n}\vdots p\Rightarrow a^{n}b^{n}\vdots p^{n}\Rightarrow p(a^{n}+b^{n})\vdots p^{n}\Rightarrow a^{n}+b^{n} \vdots p .Từ (1) \Rightarrow a\vdots p;b\vdots p$$\Rightarrow \frac{1}{p^{n}}\geq \frac{1}{a^{n}}, \frac{1}{p^{n}}\geq \frac{1}{b^{n}}\Rightarrow \frac{1}{p}=\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}\leq \frac{2}{p^{n}}\Rightarrow 2\geq p^{n-1}\Rightarrow n=1,2$ 

Mình làm thử, không biết đúng không, nếu sai mong các bạn sửa giúp

 

Mình không nghĩ đoạn đó có vấn đề lớn,chỉ đơn thuần là bạn ấy ghi nhầm thôi.Xem toàn bài của bạn ấy bạn sẽ hiểu

 

 

Vậy thì có lẽ mình không hiểu bài của bạn ấy rồi

Vậy bạn giải thích cho mình chỗ này được không?

[hoctrocuaHolmes]

Vậy thì có lẽ mình không hiểu bài của bạn ấy rồi

Vậy bạn giải thích cho mình chỗ này được không?

Bạn ấy chỉ sai kí hiệu toán học  thôi mà bạn có thể để ý cái đoạn tô đỏ bạn ấy đã chứng minh lại $a\vdots p;b\vdots p$ .Chỉ sửa lại cái đoạn bạn thắc mắc thành dấu hoặc là ok

Điều kiện đề bài : $\Leftrightarrow p(a^{n} + b^{n})=a^{n}b^{n} \Rightarrow a^{n}b^{n}\vdots p\Rightarrow a\vdots p , b\vdots p(1).  Mặt khác:  a^{n}b^{n}\vdots p\Rightarrow a^{n}b^{n}\vdots p^{n}\Rightarrow p(a^{n}+b^{n})\vdots p^{n}\Rightarrow a^{n}+b^{n} \vdots p .Từ (1) $$\Rightarrow a\vdots p;b\vdots p$$\Rightarrow \frac{1}{p^{n}}\geq \frac{1}{a^{n}}, \frac{1}{p^{n}}\geq \frac{1}{b^{n}}\Rightarrow \frac{1}{p}=\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}\leq \frac{2}{p^{n}}\Rightarrow 2\geq p^{n-1}\Rightarrow n=1,2$ 

Mình làm thử, không biết đúng không, nếu sai mong các bạn sửa giúp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 12-05-2016 - 21:43