Chủ đề này có 3 trả lời

[the unknown]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                                $\frac{(a^3+b^3+c^3+3abc)^2}{(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(ab+bc+ca)}$

[hthang0030]

Bất đẳng thức này thuần nhất,hai vế bậc 1.Ta có thể chuẩn hóa $ab+bc+ac=3$ sau đó bạn dùng p,q,r để giải là được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hthang0030: 12-05-2016 - 18:13

[hoanglong2k]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                                $\frac{(a^3+b^3+c^3+3abc)^2}{(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(ab+bc+ca)}$

 Ta chứng minh $\dfrac{(a^3+b^3+c^3+3abc)^2}{(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(ab+bc+ca)}\geq 4$ hay $(a^3+b^3+c^3+3abc)^2\geq 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(ab+bc+ca)$

 Chuẩn hóa $a+b+c=1$ và đặt $q=ab+bc+ca,\ r=abc$ thì ta cần chứng minh

$(1-3q+6r)^2\geq 4(q^2-2r)q\Leftrightarrow 36r^2+r(12-28q)-4q^3+9q^2-6q+1\geq 0$

 Với $q\leq \dfrac{1}{4}$ thì $36r^2+r(12-28q)-4q^3+9q^2-6q+1\geq -4q^3+9q^2-6q+1=(q-1)^2(1-4q)\geq 0$

 Với $\dfrac{1}{4}\leq q\leq \dfrac{1}{3}$ thì $r\geq \dfrac{(4q-1)(1-q)}{6}$ nên

$36r^2+r(12-28q)-4q^3+9q^2-6q+1\geq (4q-1)^2(1-q)^2+\dfrac{(4q-1)(1-q)(6-14q)}{3}-4q^3+9q^2-6q+1$

$=\dfrac{4q(q-1)(3q-1)(4q-1)}{3}\geq 0 $

 

Có thể làm như sau :

 Chuẩn hóa $a+b+c=3$ và đặt $ab+bc+ca=3-3t^2$ với $t\in [0;1)$ thì ta cần chứng minh $36r^2+252rt^2+72r+108t^6+405t^4+324t^2-108\geq 0$

 Chú ý là với phép đặt này thì $r\geq (1+2t)(1-t)^2$ nên ta sẽ có

$36r^2+252rt^2+72r+108t^6+405t^4+324t^2-108\geq 9t^2(2t+1)(14t^3-3t^2+16)\geq 0$

 Từ đó cũng suy ra điều cần chứng minh

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 12-05-2016 - 21:03

[the unknown]

Đây là cách của em  :

Sử dụng hệ quả đơn giản của BĐT Schur: $a^3+b^3+c^3+3abc\geq \sum ab(a+b)$, khi đó ta có: 

 $(a^3+b^3+c^3+3abc)^2\geq (\sum ab(a+b))^2\geq 4(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)=4(\sum a^3b^3+abc(a^3+b^3+c^3+3abc))\geq 4(\sum a^3b^3+abc(\sum ab(a+b)))= 4(\sum a^2b^2)(\sum ab)$.

Nên $\frac{(a^3+b^3+c^3+3abc)^2}{\sum (a^2b^2)\sum (ab)}\geq 4$.

Vậy giá trị nhỏ nhất là $4$, xảy ra khi $a=b=c$.