Chủ đề này có 6 trả lời

[ngochapid]

Bài toán: Cho $n$ số thực $a_1;..;a_n$ thỏa mãn $a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=3$

Chứng minh rằng $\left | \frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+...+\frac{a_n}{n+1} \right |<\sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngochapid: 12-05-2016 - 20:57

[Nam Duong]

$ (\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+...+\frac{a_2}{n+1})^2 \le (a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)[\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{(n+1)^2}] < 3.\frac{n}{n+1} \le 3.\frac{2}{2+1} = 2 $

 

$\rightarrow \left | \frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+...+\frac{a_2}{n+1} \right |<\sqrt{2}$

[ngochapid]

$ (\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+...+\frac{a_2}{n+1})^2 \le (a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)[\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{(n+1)^2}] < $$3.\frac{n}{n+1} \le 3.\frac{2}{2+1} = 2 $

 

$\rightarrow \left | \frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+...+\frac{a_2}{n+1} \right |<\sqrt{2}$

Tại sao lại suy ra được điều này vậy bạn? 

[Nam Duong]

Tại sao lại suy ra được điều này vậy bạn? 

từ gt $a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=3$ $n$ bé nhất bằng $2$

$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{(n+1)n}=\frac{n}{n+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nam Duong: 12-05-2016 - 20:31

[ngochapid]

từ gt $a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=3$ $n$ bé nhất bằng $2$

$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{(n+1)n}=\frac{n}{n+1}$

Taij sao $n$ bé nhất bằng $2$ hả bạn?

nếu $n=1$ thì $a_1^2=3$, có gì sai? 

[Nam Duong]

Taij sao $n$ bé nhất bằng $2$ hả bạn?

nếu $n=1$ thì $a_1^2=3$, có gì sai? 

thế đề bạn ghi có $a^2_2$ kìa

[ngochapid]

thế đề bạn ghi có $a^2_2$ kìa

À, mình xin lỗi, mình đã sửa đề rồi ^^

Bạn thử xem, theo gợi ý thì giờ chỉ cần chứng minh $\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{2}{3}$ thôi

 

Mình có một cách cuối cùng là xét hai trường hợp

$+) n=1$ hiển nhiên đúng

$+) n>1$ hay $n\geq 2$ 

ta có  $\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{(n+1)^2} \leq \frac{n}{2^2}$

hay n\leq \frac{8}{3} (đúng) => $\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{(n+1)^2}<\frac{2}{3}$

 

Không biết bạn có ý gì hay?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngochapid: 12-05-2016 - 21:16