Chủ đề này có 1 trả lời

[anhtukhon1]

Tìm tất cả số hữu tỉ a,b,c dương sao cho $a+\frac{1}{b},b+\frac{1}{c},c+\frac{1}{a}$ nguyên dương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 20-05-2016 - 16:09

[hoanglong2k]

Tìm tất cả số hữu tỉ a,b,c dương sao cho $a+\frac{1}{b},b+\frac{1}{c},c+\frac{1}{a}$ nguyên dương

 Từ giả thiết ta suy ra $\mathbb{Z^+}\ni \left(a+\dfrac{1}{b}\right)\left(b+\dfrac{1}{c}\right)\left(c+\dfrac{1}{a}\right)=a+\dfrac{1}{b}+b+\dfrac{1}{c}+c+\dfrac{1}{a}+abc+\dfrac{1}{abc}$

 Suy ra $abc+\dfrac{1}{abc}\in \mathbb{Z^+}$, đặt $abc+\dfrac{1}{abc}=t\geq 2$ thì $(abc)^2-tabc+1=0$

 Có $\Delta =t^2-4$ nên phương trình có nghiệm $abc=\dfrac{t\pm \sqrt{t^2-4}}{2}$, mà $a,b,c\in \mathbb{Q^+}$ nên $abc\in \mathbb{Q^+}$, hay $t^2-4$ phải là số chính phương.

 Đặt $t^2-4=k^2$ thì $(t-k)(t+k)=4$, mà $t+k$ và $t-k$ cùng tính chẵn lẻ nên $t-k=t+k=2\Rightarrow t=2\Rightarrow abc=1$

 Mặt khác ta có $a+\dfrac{1}{b},\ b+\dfrac{1}{c},\ c+\dfrac{1}{a}\in \mathbb{Z^+}\Rightarrow \dfrac{ab+b+1}{b},\ \dfrac{bc+c+1}{c},\ \dfrac{ca+a+1}{a}\in \mathbb{Z^+}$

 Mà từ $abc=1$ thì $\dfrac{b}{ab+b+1}+\dfrac{c}{bc+c+1}+\dfrac{a}{ca+a+1}=1$ nên bài toán quy về tìm các số nguyên dương $x,y,z$ sao cho $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1$

 

Đoạn này để giải cái phương trình trên, không thích có thể không ấn vào

 

 Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geq y\geq z>1$ thì $1\leq \dfrac{3}{z}\Rightarrow 1<z\leq 3\Rightarrow z\in \{2;3\}$

   - Với $z=2$ thì $\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\leq \dfrac{2}{y}\Rightarrow 2<y\leq 4\Rightarrow y\in \{3;4\}\Rightarrow x\in \{6;4\}$

   - Với $z=3$ thì $\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\leq \dfrac{2}{y}\Rightarrow 3\leq y\leq 3\Rightarrow y=3\Rightarrow x=3$

 

 Ta thu được các nghiệm $(x,y,z)\in \{(6,3,2);(4,4,2);(3,3,3)\}$ cùng các hoán vị tương ứng.

   - Nếu $(x,y,z)=(6,3,2)$ thì ta có thể giả sử $\dfrac{ab+b+1}{b}=6,\ \dfrac{bc+c+1}{c}=3,\ \dfrac{ca+a+1}{a}=2$ hay $a+\dfrac{1}{b}=5,\ b+\dfrac{1}{c}=3,\ c+\dfrac{1}{a}=1$

     Thay $b=\dfrac{1}{5-a}$ và $\dfrac{1}{c}=\dfrac{a}{a-1}$ ta được $\dfrac{1}{5-a}+\dfrac{a}{a-1}=3\Rightarrow a=3\Rightarrow b=\dfrac{1}{2},\ c=\dfrac{2}{3}$

     Do đó ta có $(a,b,c)=\left(3,\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3}\right)$ cùng các hoán vị tương ứng

   - Nếu $(x,y,z)=(4,4,2)$, tương tự ta giả sử và thu được $a+\dfrac{1}{b}=3,\ b+\dfrac{1}{c}=2,\ c+\dfrac{1}{a}=1$

     Thay $b=\dfrac{1}{3-a}$ và $\dfrac{1}{c}=\dfrac{a}{a-1}$ ta được $\dfrac{1}{3-a}+\dfrac{a}{a-1}=2\Rightarrow a=2\Rightarrow b=1,\ c=\dfrac{1}{2}$

     Do đó ta có $(a,b,c)=\left(2,1,\dfrac{1}{2}\right)$ cùng các hoán vị tương ứng

   - Nếu $(x,y,z)=(3,3,3)$, thì $a+\dfrac{1}{b}=b+\dfrac{1}{c}=c+\dfrac{1}{a}=2$, đến đây áp dụng AM-GM ta được $(a,b,c)=(1,1,1)$

 Vậy $(a,b,c)\in \left \{\left(3,\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3}\right);\left(2,1,\dfrac{1}{2}\right);(1,1,1)\right \}$ cùng các hoán vị tương ứng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 18-05-2016 - 22:22