4 replies to this topic

[81NMT23]

Cho: $a,b,c\geqslant0; a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm Min của: A = $\frac{c}{1+ab}+\frac{b}{1+ca}+\frac{a}{1+cb}$

Edited by 81NMT23, 14-05-2016 - 21:03.

[dunghoiten]

Cho: $a,b,c\geqslant0; a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm Min của: A = $\frac{c}{1+ab}+\frac{b}{1+ca}+\frac{a}{1+ab}$

 

Bn xem lại chỗ này, phải là $1+bc$ chứ nhỉ?

[hthang0030]

Bn xem lại chỗ này, phải là $1+bc$ chứ nhỉ?

Chắc đúng đề đó bạn vì bài này dấu bằng không xảy ra ở tâm

[hthang0030]

Ờ mà hình như bài này sai đề thật :v .Lời giải:

$\sum \frac{a}{1+bc}=\sum \frac{a(1-bc)}{(1+bc)(1-bc)}\geq \sum a-3abc$

Ta sẽ chứng minh:$\sum a\geq 3abc+1$

Tới đây dễ rồi vì bất đẳng thức này khá mạnh.Bạn chứng minh thế nào cũng được

Edited by hthang0030, 14-05-2016 - 21:03.

[PlanBbyFESN]

 

$\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}\geq 1\Leftrightarrow \frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

 

$\Leftrightarrow \sum (\frac{a}{1+bc}-a^{2})\geq 0\Leftrightarrow \sum a(\frac{1-a-abc}{1+bc})\geq 0$

 

Mà: $bc\leq \frac{b^{2}+c^{2}}{2}=\frac{1-a^{2}}{2}\Rightarrow -abc\geq \frac{a(a^{2}-1)}{2}$

 

$\Rightarrow \sum a(\frac{1-a-abc}{1+bc})\geq \sum a(\frac{1-a+\frac{a(a^{2}-1)}{2}}{1+bc})=\sum (\frac{a(a-1)^{2}(a+2)}{1+bc})\geq 0$

(ĐPCM)