Chủ đề này có 4 trả lời

[khanh2101]

Cho 

$a+b+c=1$

$a,b,c>0$

CMR: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

[dunghoiten]

Cho 

$a+b+c=1$

$a,b,c>0$

CMR: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

BĐT cần CM tương đương:

 

$\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq 3(a^2+b^2+c^2)\Leftrightarrow (a+b+c)(\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a}) \geq 3(a^2+b^2+c^2)$

 

$\Leftrightarrow \frac{a^{2}(a+c)}{b}+\frac{b^{2}(b+a)}{c}+\frac{c^{2}(c+b)}{a}\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

 

Thật vậy, AM-GM:

$\frac{a^{2}(a+c)}{b}+(a+c)b\geq 2a(a+c)$

$\frac{b^{2}(b+a)}{c}+(b+a)c\geq 2b(b+a)$

$\frac{c^{2}(c+b)}{a}+(c+b)a\geq 2c(c+b)$

 

Cộng vế theo vế ta có: $\frac{a^{2}(a+c)}{b}+\frac{b^{2}(b+a)}{c}+\frac{c^{2}(c+b)}{a}\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

  (ĐPCM)

....................................................

 

[khanh2101]

Cái này đánh giá Bunhia cũng đc  

[PlanBbyFESN]

Cho 

$a+b+c=1$

$a,b,c>0$

CMR: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

 

Bài này có 2 hướng tiếp cận, cụ thể tại ĐÂY!

 

 

Lâu rồi mới thấy 1 bài BĐT hay:

 

BĐT cần CM tương đương:

 

$\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq 3(a^2+b^2+c^2)\Leftrightarrow (a+b+c)(\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a}) \geq 3(a^2+b^2+c^2)$

 

$\Leftrightarrow \frac{a^{2}(a+c)}{b}+\frac{b^{2}(b+a)}{c}+\frac{c^{2}(c+b)}{a}\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

 

Thật vậy, AM-GM:

$\frac{a^{2}(a+c)}{b}+(a+c)b\geq 2a(a+c)$

$\frac{b^{2}(b+a)}{c}+(b+a)c\geq 2b(b+a)$

$\frac{c^{2}(c+b)}{a}+(c+b)a\geq 2c(c+b)$

 

Cộng vế theo vế ta có: $\frac{a^{2}(a+c)}{b}+\frac{b^{2}(b+a)}{c}+\frac{c^{2}(c+b)}{a}\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

  (ĐPCM)

....................................................

 

 

 

Cách khác, cũng chỉ sử dụng $AM-GM$

Giải;

Dự đoán dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Ta nhận thấy $VT$ của BĐT cần C/m có dạng phân thức, $VP$ không có, bây giờ ta tìm cách đánh giá sao cho mất phân thức. Từ đó ta có đánh giá sau

$\frac{1}{b}+9b\geq 6\Leftrightarrow \frac{1}{b}\geq 6-9b$

$\Rightarrow VT\geq a^2(6-9b)+b^2(6-9c)+c^2(6-9a)=6(a^2+b^2+c^2)-9(a^2b+b^2c+c^2a)$

Vậy ta cần C/m $a^2+b^2+c^2\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)$

Đến đây ta thấy $VT$ có bậc $2$, $VP$ có bậc $3$ vì vậy để đồng bậc ta thay $1=a+b+c$ vào $VT$
Đpcm $\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)\Leftrightarrow \sum (a^3+ab^2)\geq 2(a^2b+b^2c+c^2a)$

Sử dụng BĐT $AM-GM$ ta có $a^3+ab^2\geq 2a^2b$. Thực hiện các đánh giá tương tự rồi cộng lại ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$ 

 

[toannguyenebolala]

Nhân Vt với a+b+c rồi đưa về so sánh AM-GM đồng bậc

 

Cho 

$a+b+c=1$

$a,b,c>0$

CMR: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$