1 reply to this topic

[Senju Hashirama]

Tìm bộ 3 số $(x,y,z)$ tự nhiên thỏa mãn phương trình :  

                $5^{x}.7^{y}+4=3^{z}$

[hoanglong2k]

Tìm bộ 3 số $(x,y,z)$ tự nhiên thỏa mãn phương trình :  

                $5^{x}.7^{y}+4=3^{z}$

 Ta có $3^z\equiv 4\pmod 5\Rightarrow 3^z\equiv -1\pmod 5$. Nếu $z$ lẻ thì $z=2z_1+1\Rightarrow -1\equiv 3.9^{z_1}\equiv 3.(-1)^{z_1}\pmod 5$ vô lí, do đó $z$ chẵn.

 Đặt $z=2k$ với $k\in \mathbb{N}$ thì $5^x7^y=(3^k-2)(3^k+2)$, từ đó $\exists a,b,c,d\in \mathbb{N}$ sao cho $3^k-2=5^a7^b,\ 3^k+2=5^c7^d$ với $a+c=x$ và $b+d=y$

 Suy ra $5^c7^d-5^a7^b=4$ không chia hết cho $5$ và $7$, từ đó ta có các TH sau

 TH1. $c=0$, khi đó nếu $d=0$ thì $3^k+2=1$ vô lí, cho nên suy ra $b=0$, suy ra $5^a=7^d-4\equiv 0\pmod 3$ vô lí nên trường hợp này vô nghiệm

 TH2. $a=0$, khi đó nếu $b=0$ thì $5^c7^d=5$ suy ra $c=1,\ d=0$, từ đó suy ra $k=1\Rightarrow (x,y,z)=(1,0,2)$

 Nếu $d=0$ thì $5^c=4+7^b$, nếu như $b$ lẻ thì $b=2b_1+1\Rightarrow 5^c=4+7.49^{b_1}\equiv -1+7.(-1)^{b_1}\pmod 5\Rightarrow 5\mid -1+7.(-1)^{b_1}$ vô lí

 Do đó $b$ chẵn, đặt $b=2b_2\Rightarrow 5^c=4+49^{b_2}\equiv 4+(-1)^{b_2}\pmod 5$ nên $b_2$ chẵn, đặt $b_2=2b_3$ thì $5^c=2401^{b_3}+4$

 Mà $2401^{b_3}+4\equiv 5\pmod {25}$ cho nên $5^c\equiv 5\pmod {25}$. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $c=1$, suy ra $b=0$ và $(x,y,z)=(1,0,2)$

 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $(x,y,z)=(1,0,2)$

Edited by hoanglong2k, 16-05-2016 - 21:36.