Chủ đề này có 2 trả lời

[the unknown]

Với $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: 

       $\frac{1+ab}{c}+\frac{1+bc}{a}+\frac{1+ca}{b}> \sqrt{a^2+2}+\sqrt{b^2+2}+\sqrt{c^2+2}$.

Spoiler

Đây là một câu mình trích trong đề thi thử PTNK lần 2, thấy hay nên mọi người cùng thảo luận 

Spoiler

Bài này có thể giải nhiều hơn 2 cách  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 16-05-2016 - 22:16

[HDTterence2k]

$Ta\quad có\quad đánh\quad giá\quad sau\quad :\quad \sqrt { { a }^{ 2 }+2 } <\quad a+\frac { 1 }{ a } \quad <->\quad \frac { 1 }{ a^{ 2 } } >0\quad ,\quad ta\quad thu\quad được\quad bđt\quad cần\quad cm\quad như\quad sau\quad :\\ \frac { 1+ab }{ c } +\frac { 1+bc }{ a } +\frac { 1+ac }{ b } \ge \quad \sum { \frac { 1 }{ a } +\sum { a }  } \quad <->\quad \sum { \frac { ab }{ c } \ge \sum { a } \quad (\quad 1\quad bđt\quad quen\quad thuộc\quad ) } \quad \quad \quad$

[O0NgocDuy0O]

Với $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: 

       $\frac{1+ab}{c}+\frac{1+bc}{a}+\frac{1+ca}{b}> \sqrt{a^2+2}+\sqrt{b^2+2}+\sqrt{c^2+2}$.

Spoiler

Đây là một câu mình trích trong đề thi thử PTNK lần 2, thấy hay nên mọi người cùng thảo luận 

Spoiler

Bài này có thể giải nhiều hơn 2 cách  

Qui đồng thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $$\sum a^{2}b^{2}+\sum ab>abc.\sum \sqrt{a^{2}+2}.$$

Áp dụng $AM-GM$ có: $a\sqrt{a^{2}+2}< a^{2}+1$( Do dấu "=" không xảy ra) $\Rightarrow abc\sqrt{a^{2}+2}< bc(a^{2}+1)$.

Tương tự: $\Rightarrow abc.\sum \sqrt{a^{2}+2}<\sum bc(a^{2}+1)=\sum a^{2}bc+\sum bc=\sum bc+abc(a+b+c)\leq  \sum bc+\sum a^{2}b^{2}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 17-05-2016 - 11:05