1 reply to this topic

[ngocminhxd]

Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn $\frac{ac(b-1)}{b(a+c)}=\frac{4}{3}$. Tìm GTNN của biểu thức $A=\frac{2(a+b)^{2}}{2a+3b}+\frac{(b+2c)^{2}}{2b+c}+\frac{(2c+a)^{2}}{c+2a}$

Edited by ngocminhxd, 19-05-2016 - 10:06.

[ngocminhxd]

tớ biết giải rồi nè

$A=\frac{2(a+b)^{2}}{2a+3b}+\frac{(b+2c)^{2}}{2b+c}+\frac{(2c+a)^{2}}{c+2a}$

áp dụng bất đẳng thức cô si cho từng tử ta được

$A\geq \frac{8ab}{2a+2b}+\frac{8bc}{2b+c}+\frac{8ca}{c+2a}=8B(B=\frac{ab}{2a+2b}+\frac{bc}{2b+c}+\frac{ca}{c+2a})$

$B=\frac{ab}{2a+2b}+\frac{bc}{2b+c}+\frac{ca}{c+2a}$

đặt $a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}$

=>$B=\frac{1}{3x+2y}+\frac{1}{2z+y}+\frac{1}{2z+x}\geq \frac{9}{4x+4z+3y}$

mặt khác $\frac{ac(b-1)}{b(a+c)}=\frac{4}{3}=>4x+4z+3y=3$=>$=>B\geq 3=>A\geq 24$

vậy A đạt GTNN là 24 khi và chỉ khi a=b=5,c=5/2