Chủ đề này có 3 trả lời

[dogamer01]

Cho $x, y, z > 0$ thỏa mãn $x +y + z = 1$. Tìm giá trị lớn nhất của P = $\frac{x^{3}}{x^{2} +yz} + \frac{y^{3}}{y^{2} +zx} + \frac{z^{3}}{z^{2} +xy}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 18-05-2016 - 22:33

[Dark Magician 2k2]

Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x +y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của P = $\frac{x^{3}}{x^{2} +yz} + \frac{y^{3}}{y^{2} +zx} + \frac{z^{3}}{z^{2} +xy}$

Bài này tìm min chứ bạn, mình bấm máy không ra max, chỉ ra min là $\frac{1}{2}$ thôi

 

_____________________________________________

 

 

Áp dụng AM-GM có

$yz\leq\frac{(y+z)^2}{4}=\frac{(1-x)^2}{4}$

Suy ra

$\frac{x^{3}}{x^{2}+yz}\geq\frac{x^3}{x^2+\frac{(1-x)^2}{4}}=\frac{4x^3}{4x^2+(1-x)^2}$

Lại có

$\frac{4x^3}{4x^2+(1-x)^2}-\frac{5}{4}x+\frac{1}{4}$

$=\frac{(3x-1)^2(1-x)}{4(4x^2+(1-x)^2)}\geq 0$

Suy ra

$\frac{4x^3}{4x^2+(1-x)^2}\geq\frac{5}{4}x-\frac{1}{4}$

Tương tự rồi cộng lại có

$P=\sum\frac{4x^3}{4x^2+(1-x)^2}\geq\frac{5}{4}\sum x-\frac{3}{4}=\frac{1}{2}$

Vậy 

$MinP=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$

[gemyncanary]

Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x +y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của P = $\frac{x^{3}}{x^{2} +yz} + \frac{y^{3}}{y^{2} +zx} + \frac{z^{3}}{z^{2} +xy}$

$\frac{x^{3}}{x^{2}+yz}=x-\frac{xyz}{x^{2}+yz}\geq x-\frac{\sqrt{yz}}{2}$

Tương tự ...

$VT\geq x+y+z-\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{2}\geq 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

[dogamer01]

Bài này tìm min chứ bạn, mình bấm máy không ra max, chỉ ra min là $\frac{1}{2}$ thôi

 

_____________________________________________

 

 

Áp dụng AM-GM có

$yz\leq\frac{(y+z)^2}{4}=\frac{(1-x)^2}{4}$

Suy ra

$\frac{x^{3}}{x^{2}+yz}\geq\frac{x^3}{x^2+\frac{(1-x)^2}{4}}=\frac{4x^3}{4x^2+(1-x)^2}$

Lại có

$\frac{4x^3}{4x^2+(1-x)^2}-\frac{5}{4}x+\frac{1}{4}$

$=\frac{(3x-1)^2(1-x)}{4(4x^2+(1-x)^2)}\geq 0$

Suy ra

$\frac{4x^3}{4x^2+(1-x)^2}\geq\frac{5}{4}x-\frac{1}{4}$

Tương tự rồi cộng lại có

$P=\sum\frac{4x^3}{4x^2+(1-x)^2}\geq\frac{5}{4}\sum x-\frac{3}{4}=\frac{1}{2}$

Vậy 

$MinP=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$

Mình cũng đang thắc mắc sao đề lại ghi là max chứ không phải min vì bài này mình lấy ra từ đề dự bị của chuyên Hà Nội 2014- 2015

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogamer01: 18-05-2016 - 22:26