Chủ đề này có 6 trả lời

[hien2000a]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : a+b+c=3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ac}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

[linhphammai]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : a+b+c=3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ac}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

Ta có 

$3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = (a + b + c)(a^{2} + b^{2} + c^{2})$

$= a^{3} + b^{3} + c^{3} + a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a + ab^{2} + a^{2}c + bc^{2}$

Áp dụng cauchy ta có

$a^{3} + ab^{2} \geq 2a^{2}b$

$b^{3} + bc^{2} \geq 2b^{2}c$

$c^{3} + ca^{2} \geq 2c^{2}a$

=> $P \geq a^{2} + b^{2} + c^{2} + \frac{ab + bc + ca}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

=> $P \geq a^{2} + b^{2} + c^{2} + \frac{9 - (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{2(a^{2} + b^{2} + c^{2})}$

Đặt $x = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ ta có $x \geq 3$

=> $P \geq x + \frac{9 - x}{2x} = \frac{x}{2} + \frac{9}{2x} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \geq 3 + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 4$

Dấu bằng <=> a = b = c = 1

[hien2000a]

Ta có 

$3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = (a + b + c)(a^{2} + b^{2} + c^{2})$

$= a^{3} + b^{3} + c^{3} + a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a + ab^{2} + a^{2}c + bc^{2}$

Áp dụng cauchy ta có

$a^{3} + ab^{2} \geq 2a^{2}b$

$b^{3} + bc^{2} \geq 2b^{2}c$

$c^{3} + ca^{2} \geq 2c^{2}a$

=> $P \geq a^{2} + b^{2} + c^{2} + \frac{ab + bc + ca}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

=> $P \geq a^{2} + b^{2} + c^{2} + \frac{9 - (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{2(a^{2} + b^{2} + c^{2})}$

Đặt $x = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ ta có $x \geq 3$

=> $P \geq x + \frac{9 - x}{2x} = \frac{x}{2} + \frac{9}{2x} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \geq 3 + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 4$

Dấu bằng <=> a = b = c = 1

a3+ab2≥2a2ba3+ab2≥2a2b

b3+bc2≥2b2cb3+bc2≥2b2c

c3+ca2≥2c2a

chỗ này thì liên quan tới chỗ nào trong bài vậy bạn?

[linhphammai]

 

a3+ab2≥2a2ba3+ab2≥2a2b

b3+bc2≥2b2cb3+bc2≥2b2c

c3+ca2≥2c2a

chỗ này thì liên quan tới chỗ nào trong bài vậy bạn?

 

liên quan đến cái mẫu số của phân thức đấy bạn ạ...

bạn cộng vế vs vế sau đó dựa vào cái tích mình viết ngay đầu bài ấy bạn sẽ có được

$a^{2} + b^{2} + c^{2} \leq a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a$

xong rồi làm tiếp... thế đấy

[hien2000a]

liên quan đến cái mẫu số của phân thức đấy bạn ạ...

bạn cộng vế vs vế sau đó dựa vào cái tích mình viết ngay đầu bài ấy bạn sẽ có được

$a^{2} + b^{2} + c^{2} \leq a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a$

xong rồi làm tiếp... thế đấy

bạn làm rõ hơn đc ko? ìinh chưa hiểu lắm

[hien2000a]

liên quan đến cái mẫu số của phân thức đấy bạn ạ...

bạn cộng vế vs vế sau đó dựa vào cái tích mình viết ngay đầu bài ấy bạn sẽ có được

$a^{2} + b^{2} + c^{2} \leq a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a$

xong rồi làm tiếp... thế đấy

a2+b2+c2≤a2b+b2c+c2a

mình tưởng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

[linhphammai]

a2+b2+c2≤a2b+b2c+c2a

mình tưởng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

à uk...mình nhầm.nhưng vế sau chắc bạn hiểu rồi chứ