Chủ đề này có 4 trả lời

[Math Master]

Cho a,b,c dương thỏa mãn $abc = 2$

Chứng minh bất đẳng thức sau: $a^3 + b^3 + c^3 \geq a\sqrt{b+c} + b\sqrt{c+a} + c\sqrt{a+b}$

[PlanBbyFESN]

 

Ta có:

$a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)$(chứng minh bằng tương đương)

$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+2c^{3}\geq ab(a+b)+2c^{3}\geq 2\sqrt{2abc^{3}(a+b)}=2\sqrt{2.2.c^{2}(a+b)}=4c\sqrt{a+b}$

Tương tự cộng lại ta được đpcm

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt[3]{2}$

 

 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì $a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\leq \sqrt{2(a+b+c)(ab+bc+ca)}\leq \sqrt{2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}\leq \sqrt{6(a^3+b^3+c^3)}$

 Nên ta chỉ cần chứng minh $a^3+b^3+c^3\geq 6=3abc$, hiển nhiên đúng theo AM-GM

 

[O0NgocDuy0O]

Vào lúc 20 Tháng 3 2016 - 12:33, Hoang Long Le đã nói:

 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì a√b+c+b√c+a+c√a+b≤√2(a+b+c)(ab+bc+ca)≤√2(a+b+c)(a2+b2+c2)≤√6(a3+b3+c3)ab+c+bc+a+ca+b≤2(a+b+c)(ab+bc+ca)≤2(a+b+c)(a2+b2+c2)≤6(a3+b3+c3)

 Nên ta chỉ cần chứng minh a3+b3+c3≥6=3abca3+b3+c3≥6=3abc, hiển nhiên đúng theo AM-GM

 

 

 

 

 

Cho em hỏi cái BĐT cuối chứng minh sao ạ????

[PlanBbyFESN]

Cho em hỏi cái BĐT cuối chứng minh sao ạ????

 

Ý bạn hỏi cái nào?

 

$2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\Rightarrow 3(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

 

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)\left [\sum (a-b)^{2} \right ]$

[KietLW9]

Cho a,b,c dương thỏa mãn $abc = 2$

Chứng minh bất đẳng thức sau: $a^3 + b^3 + c^3 \geq a\sqrt{b+c} + b\sqrt{c+a} + c\sqrt{a+b}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta được: $(\sum_{cyc}^{cyc}a\sqrt{b+c} )^2\leqslant 2(\sum_{cyc}^{cyc}a )(\sum_{cyc}^{cyc}a^2)=\prod_{cyc}^{cyc}a(\sum_{cyc}^{cyc}a )(\sum_{cyc}^{cyc}a^2)\leqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2}{3} \leqslant \frac{(a+b+c)^6}{3^4}$

$\Rightarrow \sum_{cyc}^{cyc}a\sqrt{b+c}\leq \frac{(a+b+c)^3}{3^2}\leqslant a^3+b^3+c^3$ 

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt[3]{2}$