Chủ đề này có 1 trả lời

[motcongmotlonhon2]

Đề bài $:$  CMR với mọi số thực $x,y,z$ ta có $:$

$ \left | x+y-z\right|+\left | y+z-x\right|+\left |z+x-y\right|+\left| x+y+z\right| \geq 2 (\left|x \right |+\left|y \right |+\left|z \right |)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi motcongmotlonhon2: 20-05-2016 - 12:13

[NTA1907]

Đề bài $:$  CMR với mọi số thực $x,y,z$ ta có $:$

$ \left | x+y-z\right|+\left | y+z-x\right|+\left |z+x-y\right|+\left| x+y+z\right| \geq 2 (\left|x \right |+\left|y \right |+\left|z \right |)$

 

 

Lời giải : 
Đặt $x+y-z=a,y+z-x=b,c=z+x-y$ . Trong $3$ số bao giờ cũng có ít nhất $2$ số cùng dấu. Giả sử $a.b \ge 0$ 
Khi đó $|a|+|b|=|a+b|=2|y|$ 
Ta có $x+y+z=a+b+c,2x=a+c,2z=b+c$. Do đó để chứng minh bđt đúng thì ta phải c/m 
$|c|+|a+b+c| \ge |a+c|+|b+c|$ (**) đúng với $ab \ge 0$ 
(**) $\Leftrightarrow |c|.|a+b+c|+ab \ge |a+c|.|b+c|$ 
$\Leftrightarrow |ca+cb+c^2|+ab \ge |(c^2+cb+c^2)+ab|$  
$\Leftrightarrow |ca+cb+c^2|+|ab| \ge |c^2+cb+c^2+ab|$ (đúng)   
BĐT đc chứng minh 
Dấu bằng xảy ra  trong TH các số : $a,b,c,a+b+c$ chia làm $2$ cặp cùng dấu.