Cho x, y, z >0 và xy+yz+zx >0
Chứng minh $\sum \sqrt{\frac{1+x^{2}}{y+z}}\geqslant 3$
$\sum \sqrt{\frac{1+x^{2}}{y+z}}\geqslant 3$
Bắt đầu bởi gemyncanary, 21-05-2016 - 00:51
#2
Đã gửi 21-05-2016 - 09:43
Chris yang
-
- Thành viên
-
- 223 Bài viết
Thượng sĩ
Cho x, y, z >0 và xy+yz+zx >0
Chứng minh $\sum \sqrt{\frac{1+x^{2}}{y+z}}\geqslant 3$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\sum \sqrt{\frac{x^2+1}{y+z}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)}{(x+y)(y+z)(x+z)}}$
Theo BĐT Cauchy- Schwarz thì $(x^2+1)(y^2+1)\geq (x+y)^2\Rightarrow \prod (x^2+1)\geq \prod (x+y)$.
Do đó mà $\sum \sqrt{\frac{x^2+1}{y+z}}\geq 3$
Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=1$
- tpdtthltvp, Minhnguyenthe333 và gemyncanary thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
