Chủ đề này có 3 trả lời

[xuantungjinkaido]

Tam giác ABC vuông tại A. AH vuông góc BC.Gọi I1, I2 là tâm nội tiếp tam giác AHB và tam giác AHC.Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tâm I tiếp xúc BC tại D.Gọi T là giao I1I2 với AH.Chứng minh rằng $\frac{1}{AT}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$

[minh2582001]

Cho đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I làm gì vậy bạn?

[xuantungjinkaido]

Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tâm I

[vkhoa]

Tam giác ABC vuông tại A. AH vuông góc BC.Gọi I1, I2 là tâm nội tiếp tam giác AHB và tam giác AHC.Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tâm I tiếp xúc BC tại D.Gọi T là giao I1I2 với AH.Chứng minh rằng $\frac{1}{AT}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$

Gọi D là giao điểm của BI và $HI_2$, E là giao điểm của CI và $HI_1$
ta có $\widehat{HAI_2} =\frac{\widehat{HAC}}2 =\frac{\widehat{HBA}}2 =\widehat{HBI_1}$
và có $\widehat{AHI_2} =45^\circ =\widehat{BHI_1}$
$\Rightarrow\triangle AHI_2\sim\triangle BHI_1$ (g, g)
$\Rightarrow\frac{HI_2}{HA} =\frac{HI_1}{HB}$
mà có $\widehat{I_2HI_1} =90^\circ =\widehat{AHB}$
$\Rightarrow\triangle I_1HI_2\sim\triangle BHA$
có $\widehat{DIC} =\widehat{IBC} +\widehat{ICB}$
$=\frac12(\widehat{ABC} +\widehat{ACB}) =45^\circ =\widehat{DHC}$
$\Rightarrow$ DIHC nội tiếp
$\Rightarrow\widehat{BDH} =\widehat{ICH} =\frac{\widehat{ACH}}2 =\frac{\widehat{BAH}}2$
$\Rightarrow\widehat{I_1I_2H} =2\widehat{BDH}$
mà $\widehat{I_1I_2H} =\widehat{I_2I_1D}+\widehat{I_2DI_1}$
$\Rightarrow\widehat{I_2I_1D} =\widehat{I_1DI_2}$
$\Rightarrow \triangle I_1I_2D$ cân tại $I_2$ (1)
mặt khác $\widehat{BAI_2} =90^\circ -\frac{\widehat{HAC}}2 =90^\circ -\widehat{ABD}$
$\Rightarrow I_2A \perp I_1D$ (2)
từ (1, 2)$\Rightarrow I_2A$ là phân giác $\widehat{DI_2I_1}$
chứng minh tương tự, $I_1A$ là phân giác $\widehat{EI_1I_2}$
$\Rightarrow\frac{AH}{AT} =\frac{I_2H}{I_2T} =\frac{I_1H}{I_1T}$
$=\frac{I_2H +I_1H}{I_2T +I_1T} =\frac{I_1H +I_2H}{I_1I_2}$ (3)
có $\triangle I_1I_2H \sim\triangle BAH\sim\triangle BCA$ (4)
$\Rightarrow \frac{I_1H}{I_1I_2} =\frac{BA}{BC} =\frac{AH}{AC}$ (5)
(4)$\Rightarrow\frac{I_2H}{I_1I_2} =\frac{CA}{BC} =\frac{AH}{AB}$ (6)
từ (3, 5, 6)$\Rightarrow\frac{AH}{AT} =\frac{AH}{AC} +\frac{AH}{AB}$
$\Rightarrow\frac1{AT} =\frac1{AB} +\frac1{AC}$ (đpcm)

Hình gửi kèm

•