Chủ đề này có 2 trả lời

[tritanngo99]

$\left\{\begin{matrix} & 2(x-y)+4x\sqrt{x^2+1}=(x+y)\sqrt{x^2+2xy+y^2+4}\\ & \sqrt{3x+y-2}(\sqrt{x}+\sqrt{2})=x\sqrt{x^2+1}+y^2+1 \end{matrix}\right.$

[Issac Newton of Ngoc Tao]

$\left\{\begin{matrix} & 2(x-y)+4x\sqrt{x^2+1}=(x+y)\sqrt{x^2+2xy+y^2+4}\\ & \sqrt{3x+y-2}(\sqrt{x}+\sqrt{2})=x\sqrt{x^2+1}+y^2+1 \end{matrix}\right.$

Ta có:

$PT(1)\Leftrightarrow 2(x+y)+(x+y)\sqrt{(x+y)^{2}+4}=2(2x)+2x.\sqrt{(2x)^{2}+4}\Leftrightarrow x+y=2x\Leftrightarrow x=y$

Thay x=y vào phương trình (2) ta được:

$PT(2):\sqrt{4x-2}(\sqrt{x}+\sqrt{2})=x\sqrt{x^{2}+1}+x^{2}+1\Leftrightarrow x^{2}+1+x\sqrt{x^{2}+1}=\sqrt{4x^{2}-2x}+2\sqrt{2x-1}\Leftrightarrow (x^{2}+1-2\sqrt{2x-1})+(x\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{4x^{2}-2x})=0\Leftrightarrow \frac{(x-1)^{2}(x^{2}+2x+5)}{x^{2}+1+2\sqrt{2x-1}}+\frac{x(x-1)^{2}(x+2)}{x\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{4x^{2}-2x}}=0\Leftrightarrow (x-1)^{2}(\frac{x^{2}+2x+5}{x^{2}+1+2\sqrt{2x-1}}+\frac{x(x+2)}{x\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{4x^{2}-2x}})=0\Leftrightarrow x=1(\forall x\geq \frac{1}{2})$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Issac Newton of Ngoc Tao: 22-05-2016 - 09:50

[tritanngo99]

Sau khi Cm được x=y. Thế vào pt(2) mình biến đổi như sau:

$(2)\iff \sqrt{2x-1}\sqrt{(\sqrt{2x-1})^2+1}+2\sqrt{2x-1}=x\sqrt{x^2+1}+x^2+1\ge x\sqrt{x^2+1}+2x(*)$

Đến đây xét $f(t)=t\sqrt{t^2+1}+2t=> f(t)$  luôn đồng biến

Khi đó: $(*)\iff f(\sqrt{2x-1})\ge f(x)\iff \sqrt{2x-1}\ge x\iff 0\ge (x-1)^2=>x=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 22-05-2016 - 09:42