1 reply to this topic

[ngocminhxd]

Tìm GTNN của $Q=\frac{1}{2}(\frac{x^{10}}{y^{2}}+\frac{y^{10}}{x^{2}})+\frac{1}{4}(x^{16}+y^{16})-(1+x^{2}y^{2})^{2}$

(sử dụng cô-si 4 số)

[leminhnghiatt]

Tìm GTNN của $Q=\frac{1}{2}(\frac{x^{10}}{y^{2}}+\frac{y^{10}}{x^{2}})+\frac{1}{4}(x^{16}+y^{16})-(1+x^{2}y^{2})^{2}$

(sử dụng cô-si 4 số)

Theo bđt Cô-si cho 2 số: $\dfrac{1}{2}(\dfrac{x^{10}}{y^2}+\dfrac{y^{10}}{x^2}) \geq \sqrt{x^8y^8}=x^4y^4$

 

Cô-si cho 8 số: $x^{16}+y^{16}+1+1+1+1+1+1 \geq 8\sqrt[8]{x^{16}.y^{16}}=8x^2y^2 \rightarrow x^{16}+y^{16} \geq 8x^2y^2-6$

 

Ta có: $Q \geq x^4y^4+\dfrac{1}{4}(8x^2y^2-6)-(1+x^2y^2)^2=\dfrac{-3}{2}-1=\dfrac{-5}{2}$

 

Dấu "=" $\iff x^2= y^2=1$

Edited by leminhnghiatt, 22-05-2016 - 09:39.