Nhờ mấy anh chị hướng dẫn bài Oxy này với:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, gọi P là điểm trên cạnh BC. Đường thẳng qua P song song với AC cắt AB tại điểm D, đường thẳng qua P song song với AB cắt AC tại điểm E. Gọi Q là điểm đối xứng của P qua DE. Tìm tọa độ điểm A biết B(-2;1), C(2;-1) và Q(-2;-1)
*Phân tích
Giả sử đã dựng được điểm A
có D nằm trên trung trực QB
có DQ =DP (vì Q đối xứng P qua DE) =EA (1)
có $\widehat{EDQ} =\widehat{EDP} =\widehat{DAE}$ (2)
từ (1, 2) $\Rightarrow$ AEDQ là hình thang cân
$\Rightarrow AQ //DE$ , mà DE$\perp$PQ
$\Rightarrow AQ\perp QP$
*Thay đổi cách dựng hình theo đề bài trên thành như sau
+Lấy điểm D trên trung trực BQ
+Trên BC lấy điểm P sao cho tam giác BDP cân tại D
+BD cắt trung trực BC tại A
bài toán trở thành dựng điểm D sao cho AQ vuông góc PQ
*Chứng minh, ta sẽ ch minh Q đối xứng với P qua DE, với P thuộc BC và PD//AC và PE//AB theo cách dựng trên
có DQ =DB =DP (1)
kẻ đường thẳng qua D vuông góc PQ cắt AC tại E', cắt AP tại G (2)
(1, 2)$\Rightarrow$ E'D là trung trực PQ (3)
từ (3) và$\widehat{AQP} =90^\circ\Rightarrow$ G là trung điểm AP
$\Rightarrow\triangle GDP=\triangle GE'A$ (g, c, g)
$\Rightarrow$ ADPE' là hình bình hành $\Rightarrow$ PE' //AB
$\Rightarrow$ E' trùng E (4)
từ (3, 4)$\Rightarrow$ đpcm
*Giải
có B, Q$\Rightarrow$ pt trung trực BQ là y =0
$\Rightarrow$ tọa độ $D =(d, 0)$
có A thuộc trung trực BC $\Rightarrow A =(a, 2a)$
$\overrightarrow{BD} =(d +2, -1)$
$\overrightarrow{BA} =(a +2, 2a -1)$
có $\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{BA}$ cộng tuyến
$\Rightarrow$ (d +2)(2a -1) =-(a +2)
$\Leftrightarrow$ (2d +5) .a =d (5)
nếu 2d +5 =0$\Rightarrow 0 =-\frac52$ (vô lí)
$\Rightarrow$ $2d +5\neq 0$
(5)$\Rightarrow a =\frac d{2d +5}$
$\Rightarrow A =(\frac{d}{2d +5}, \frac{2d}{2d +5})$
$\Rightarrow \overrightarrow{QA} =(\frac{5d +10}{2d +5}, \frac{4d +5}{2d +5})$
Hạ DF vuông góc BC tại F
F thuộc BC$\Rightarrow$ F=(-2 +4t, 1 -2t)
$\Rightarrow\overrightarrow{FD} =(d +2 -4t, 2t -1)$
$\overrightarrow{FD} .\overrightarrow{BC} =0$
$\Rightarrow$4(d +2 -4t) -2(2t -1) =0
$\Rightarrow t =\frac{2d +5}{10}$
$\Rightarrow F=(\frac{4d}5, -\frac{2d}5)$
P đối xứng với B qua F$\Rightarrow P=(\frac{8d +10}5,-\frac{4d +5}5)$
$\overrightarrow{QP} =(\frac{8d +20}5, -\frac{4d}5)$
có $\overrightarrow{QA} .\overrightarrow{QP} =0$
$\Rightarrow (5d +10)(8d +20) -(4d +5)4d =0$
$\Rightarrow 3d^2 +20d +25 =0$
$\Rightarrow \left[\begin{matrix}d=-5\\d=-\frac53\end{matrix}\right.$
+d=-5
$\Rightarrow P =(-6, 3)$
$\Rightarrow $loại d =-5 vì P nằm ngoài đoạn BC
+d=$-\frac53$
$\Rightarrow P =(-\frac23, \frac13)$
P nằm giữa B, C $\Rightarrow d =-\frac53$ thỏa mãn
$\Rightarrow A =(-1, -2)$