Cho các số thực dương $a,b,c$ có tổng bằng 3. Chứng minh rằng với mọi $n\in \mathbb{N^*}$ thì
$\dfrac{a}{(n-1)b^n+1}+\dfrac{b}{(n-1)c^n+1}+\dfrac{c}{(n-1)a^n+1}\geq \dfrac{3}{n}$
#2
Đã gửi 23-05-2016 - 21:14
PlanBbyFESN
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 637 Bài viết
Thiếu úy
Cho các số thực dương $a,b,c$ có tổng bằng 3. Chứng minh rằng với mọi $n\in \mathbb{N^*}$ thì
$\dfrac{a}{(n-1)b^n+1}+\dfrac{b}{(n-1)c^n+1}+\dfrac{c}{(n-1)a^n+1}\geq \dfrac{3}{n}$
AM-GM:
$\dfrac{a}{(n-1)b^n+1}=a-\frac{ab^{n}(n-1)}{(n-1)b^{n}+1}=a-\frac{ab^{n}(n-1)}{\underset{n }{b^{n}+b^{n}+...+b^{n}+1}}\geq a-\frac{ab^{n}(n-1)}{nb^{n-1}}=a-\frac{ab(n-1)}{n}$
$\dfrac{a}{(n-1)b^n+1}+\dfrac{b}{(n-1)c^n+1}+\dfrac{c}{(n-1)a^n+1}\geq a+b+c-\frac{n-1}{n}(ab+bc+ca)\geq a+b+c-\frac{n-1}{n}\frac{(a+b+c)^{2}}{3}=\frac{3}{n}\blacksquare$
- tpdtthltvp yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
