Đề bài 9 đúng phải là: với mỗi số thực dương $\alpha$, ta gọi $S(\alpha)=${$[n\alpha]|n\in \mathbb {Z^+}$}. Chứng minh rằng $\mathbb {Z^+}$ không thể biểu diễn thành hợp của 3 tập rời nhau $S(\alpha)$, $S(\beta)$, $S(\gamma)$.
Lời giải bài 9:
Giả sử tồn tại các số $\alpha <\beta <\gamma $ khác 1 thoả mãn tập ${{\mathbb{Z}}^{+}}$ có thể phân hoạch thành 3 tập $S\left( \alpha \right)$, $S\left( \beta \right)$ và $S\left( \gamma \right)$.
Vì $\alpha <\beta <\gamma $ nên suy ra $1\in S\left( \alpha \right)$ hay $\left\lfloor \alpha \right\rfloor =1$. Khi đó: $\alpha =1+\delta $ với $0<\delta <1$.
Nếu số tự nhiên $n\in S\left( \alpha \right)$ thì tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho:
$n=\left\lfloor k\alpha \right\rfloor \Rightarrow k\alpha <n+1\Rightarrow \left( k+1 \right)\alpha <n+1+\alpha =n+2+\delta <n+3$
Suy ra $\left\lfloor \left( k+1 \right)\alpha \right\rfloor \le n+2$, hay không tồn tại 2 số nguyên dương liên tiếp không thuộc $S\left( \alpha \right)$. (1)
Gọi $m$ là số nguyên dương nhỏ nhất không thuộc tập $S\left( \alpha \right)$. Khi đó ta phải có $\left( m-1 \right)\delta <1\le m\delta $ và $m\in S\left( \beta \right)$. Khi đó $\beta =m+\varepsilon $ với $0\le \varepsilon <1$.
Gọi $x$ là số nguyên dương bất kỳ không thuộc tập $S\left( \alpha \right)$ thì $x$ sẽ có dạng $x=\left\lfloor k\alpha \right\rfloor +1$ với $k\in \mathbb{N}$ và $\left\lfloor \left( k+1 \right)\alpha \right\rfloor -\left\lfloor k\alpha \right\rfloor >1$. Ta sẽ chứng minh số nguyên dương tiếp theo không thuộc $S\left( \alpha \right)$ là $x+m$ hoặc $x+m+1$.
Ta có: $\left\lfloor \left( k+1 \right)\alpha \right\rfloor -\left\lfloor k\alpha \right\rfloor >1\Leftrightarrow \left\lfloor \left( k+1 \right)\delta \right\rfloor -\left\lfloor k\delta \right\rfloor >0$, nên sẽ tồn tại số nguyên dương $l$ thoả mãn $k\delta <l\le \left( k+1 \right)\delta $. Khi đó: $x=k+\left\lfloor k\delta \right\rfloor +1=k+l+1$
Gọi $y=\left\lfloor p\alpha \right\rfloor +1$ là số nguyên dương tiếp theo sau $x$ không thuộc $S\left( \alpha \right)$ thì $p\delta <l+1\le \left( p+1 \right)\delta $. Khi đó: $y=p+\left\lfloor p\delta \right\rfloor +1=p+l+1$
Suy ra: $\left( p+1-k \right)\delta >1>\left( p-1-k \right)\delta \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}p-1-k=m \\ p-k=m\end{array} \right.$
Nếu $p-1-k=m\Rightarrow y=p+l+1=\left( k+m+1 \right)+\left( x-k-1 \right)+1=x+m+1$
Nếu $p-k=m\Rightarrow y=p+l+1=\left( k+m \right)+\left( x-k-1 \right)+1=x+m$
Vậy với $x\notin S\left( \alpha \right)$ thì số nguyên dương tiếp theo không thuộc $S\left( \alpha \right)$ là $x+m$ hoặc $x+m+1$. (2)
Ta sẽ chứng minh nếu $x\in S\left( \beta \right)$ thì số nguyên dương tiếp theo thuộc $S\left( \beta \right)$ là $x+m$ hoặc $x+m+1$. (3)
Ta có: $x=\left\lfloor k\beta \right\rfloor \Rightarrow k\beta -1<x\le k\beta \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( k+1 \right)\beta =k\beta +\beta \ge x+m \\\left( k+1 \right)\beta =k\beta +\beta <x+m+1\end{array} \right.$
Nên suy ra: $\left\lfloor \left( k+1 \right)\beta \right\rfloor =x+m$ hoặc $\left\lfloor \left( k+1 \right)\beta \right\rfloor =x+m+1$.
Từ (1), (2), (3) suy ra tất cả các số nguyên dương thuộc $S\left( \alpha \right)$ hoặc $S\left( \beta \right)$, hay không có số nguyên dương nào thuộc $S\left( \gamma \right)$, vô lý. Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 10:
Một tập hợp $A$ các số tự nhiên được gọi là hoàn hảo nếu thoả mãn đồng thời 3 điều kiện sau:
(i) $0\in A$
(ii) Nếu $a\in A$ thì $a+2015\in A$
(iii) Nếu $a\in A$ thì $a+2016\in A$
Hỏi có tất cả bao nhiêu tập hoàn hảo?