Lời giải bài 14 :
Đặt $\frac{p-1}{2}=h$ thế thì $(q^{h}-1)(q^{h}+1)=pK^{2}$
Đặt $d=gcd(q^{h}-1,q^{h}+1)$ thế thì $d|2$ mà cả hai số chẵn nên $d=2$
Hơn nữa để ý rằng $-p$ là số chính phương $modq$ nên $q^{h}+1$ là bội của $p$ ( cái này các bạn thuận nghịch bình phương sẽ thấy)
Nên ta có thể đặt $q^{h}-1=2a$ và $q^{h}+1=2pb$ với $(a,pb)=1$, Lại có thể đặt $(a,b)=(m^{2},n^{2})$
Hai phương trình trên tương đương $q^{h}=m^{2}+pn^{2}$ và $1=pn^{2}-m^{2}$
Nếu $n$ chẵn thì $m^{2}\equiv -1(mod4)$ nên $a+1\equiv 0(mod4)$ nên $2a\equiv -2(mod8)$ nên $q^{h}\equiv -1(mod8)$ hay $3^{h}\equiv -1(mod8)$
Nhưng nếu $h$ chẵn hay lẻ đều này đều không xảy ra vậy phải có $n$ lẻ và $m$ chẵn từ $1=pn^{2}-m^{2}$ thì $p\equiv 1(mod4)$
Đặt $h=2t$ thì ta có phân tích $q^{h}-1=(q^{t}-1)(q^{t}+1)=2m^{2}$
Lý luận tương tự $q^{t}-1=2c^{2},q^{t}+1=4d^{2}$ nên $q^{t}=(2d-1)(2d+1)$ , nhưng $q$ nguyên tố và $(2d-1,2d+1)=1,2d-1<2d+1$ nên $d=1$
Vậy $(p,q)=(5,3)$
Đề xuất bài 15 ( Nguồn : Aops) : Giả sử dãy $(a_{n})$ thỏa mãn $\sum_{d|n} a_{d}=2^{n}$ với mọi $n$ thì $a_{n}$ là bội của $n$ với mọi $n$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 29-05-2016 - 00:50