Chủ đề này có 1 trả lời

[Augustin Louis Cauchy III]

Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn : $P(x)P(2x^{2})=P(2x^{3}+x)$ 

P/s : Mong các bạn chỉ mình cách tư duy dạng toán này .

[An Infinitesimal]

Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn : $P(x)P(2x^{2})=P(2x^{3}+x)$ 

P/s : Mong các bạn chỉ mình cách tư duy dạng toán này .

Ở đây, ta không bàn đến trường hợp $P$ là đa thức hằng.

Vài thông tin liên quan $P$:

1) $P$ không thể có nghiệm thực.

2) Hệ số cao nhất của $P$ là 1.

3) Nếu $2x^2$ là nghiệm của $P$ thì $2x^3+x$ cũng thế.

4) Ta có chỉ ra được $x^2+1$ là một nghiệm của $P$.

5) Nếu $P_1, P_2$ là nghiệm của PT hàm trên thì $P_1(x)P_2(x)$ cũng là nghiệm.

6) Nếu cho trước $n= \deg(P)$ là một số chẵn thì tồn tại không quá một đa thức $P$ thỏa PT hàm.

(Chứng minh bằng phản chứng)

7) $(x^2+1)^k$ là nghiệm ứng với $\deg(P)=2k=n.$ 

(Nghiệm của đa thức liên quan mật thiết với phương trình $2x^2=2x^3+x$.)