Bài toán 136. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ đường tròn bàng tiếp góc $A$ là $(J)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. Đường tròn qua $A,B$ tiếp xúc $(J)$ tại $M$. Đường tròn qua $A,C$ tiếp xúc $(J)$ tại $N$. $BM$ cắt $CN$ tại $P$. Chứng minh rằng $\angle PAB=\angle DAC$.
Lời giải bài toán 136
Gọi $D,E,F$ là tiếp điểm của $(J)$ trên $BC,CA,AB$
Gọi $X,Y,Z$ là trung điểm $EF,DE,DF$
Ta chứng minh $BMXF$ và $CNXE$ nội tiếp
Thật vậy nghịch đảo cực $A$ phương tích bất kỳ thì được cấu hình: tam giác $ABC$ với $(X)$ là đường tròn $A-Mixtilinear$ tiếp xúc với $AB,AC$ lại $F,E$. Tiếp tuyến thứ hai $BM$ đến $(K)$. Khi đó dễ thấy $B,M,X,F$ nội tiếp đường tròn
Từ đó nghịch đảo lại thì ở bài toán này $BMXF$ và $CNXE$ nội tiếp
Xét phép nghịch đảo cực $D$ phương tích $JD^2$ thì ta thu được $AMZF$ và $ANYE$ nội tiếp
$AD$ cắt $EF$ tại $T$. $S$ đối xứng với $T$ qua $X$ thì do tam giác $AEF$ cân tại $A$ nên $AS,AT$ đẳng giác
Do đó ta chứng minh $AS,BM,CN$ đồng quy. Xét cực và đối cực với $(J)$. Gọi $P,Q,R$ là cực của $AS,BM,CN$ với $(J)$.
Cần chứng minh $P,Q,R$ thẳng hàng
Khi đó theo định lý $Lahire$ thì $P,Q,R$ lần lượt nằm trên $EF,DF,DE$ nên ta sẽ áp dụng định lý $Menelaus$ để chứng minh
Thật vậy $(PSFE)=-1$ nên $\dfrac{PE}{PF}=\dfrac{SE}{SF}=\dfrac{TF}{TE}=\dfrac{DF^2}{DE^2}$ ( do $AD$ là đối trung của tam giác $DEF$)
Lại có: $Q$ là đối cực của $BM$ nên $QM$ tiếp xúc $(J)$. Từ đó :$\dfrac{QF}{QD}=\dfrac{MF^2}{MD^2}$
Giả sử $MZ$ cắt lại $(J)$ tại $L$. Ta có: $\widehat{AFZ}=\widehat{FLD}$ (góc tiếp tuyến) và $\widehat{FDL}=\widehat{FML}=\widehat{FAZ}$
Suy ra tam giác $FLD$ và tam giác $ZFA$ đồng dạng. Kết hợp $Z$ là trung điểm $DF$ nên ta thu được: $\dfrac{QF}{QD}=\dfrac{MF^2}{MD^2}=\dfrac{LD^2}{LF^2}=\dfrac{FA^2}{FZ^2}$
Tương tự: $\dfrac{RD}{RE}=\dfrac{EY^2}{EA^2}$. Từ đó $\dfrac{PE}{PF}.\dfrac{QF}{QD}.\dfrac{RD}{RE}=1$
Vậy ta có điều phải chứng minh
Ngoài ra ta hoàn toàn có thể chứng minh được $BMXF$ và $AMZF$ nội tiếp mà hoàn toàn không cần đến phép nghịch đảo nhưng lời giải sẽ dài hơn
Bài toán 137. Cho tam giác $ABC$ có $AC>BC>AB$. Đường tròn bàng tiếp góc $A$ và đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với đường tròn $Euler$ của nó tại $T,T_a$. Gọi $D,E$ là hình chiếu của $B,C$ lên $AC,AB$. Gọi $M,N$ là trung điểm $AC,AB$. Chứng minh $MN,DE,TT_a$ đồng quy
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 20-01-2017 - 18:28