1 reply to this topic

[ngochapid]

Cho $a$ và $b$ là các số nguyên sao cho tồn tại hai số nguyên liên tiếp $c$ và $d$ để $a-b=a^2c-b^2d$

Chứng minh rằng $|a-b|$  là số chính phương 

Edited by ngochapid, 24-05-2016 - 17:43.

[nloan2k1]

Cho $a$ và $b$ là các số nguyên sao cho tồn tại hai số nguyên liên tiếp $c$ và $d$ để $a-b=a^2c-b^2d$ $(*)$

Chứng minh rằng $|a-b|$  là số chính phương 

 

Không mất tính tổng quát giả sử  $ c>d$ Thay $c=d+1$ vào $(*)$ ta có $(a-b)(1-d(a+b))=a^2$

Ta chứng minh  $gcd(a-b; 1-d(a+b))=1$

Giả sử $p|a-b$ ; $p|1-d(a+b)$ $ $(1)$ với $p$ là số nguyên tố

Suy ra $p|a^2$ suy ra $p|a$ 

mà $p|a-b$ nên $p|b$

Khi đó $p|a+b$, kết hợp với $(1)$ suy ra điều giả sử là sai, loại

Suy ra $gcd(a-b; 1-d(a+b))=1$ suy ra $|a-b|$ là số chính phương