Bài 2: cho a+b+c = 3
chứng minh $\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{b+ac}}\geq 3$
Áp dụng AM-GM ta có:
$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(c+ab)(b+ca)(a+bc)}}$
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
$\frac{\prod (a+b)}{\prod (c+ab)}\geq 1$
Lại áp dụng AM-GM ta có:
$(c+ab)(b+ca)\leq \frac{(c+ab+b+ca)^{2}}{4}=\frac{\left [ (b+c)(a+1) \right ]^{2}}{4}$
Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi nhân lại ta có:
$(c+ab)(b+ca)(a+bc)\leq \frac{(a+b)(b+c)(c+a)(a+1)(b+1)(c+1)}{8}\leq \frac{(a+b)(b+c)(c+a).\frac{(a+b+c+3)^{3}}{27}}{8}=(a+b)(b+c)(c+a)$
$\Rightarrow đpcm$