375 replies to this topic

[Baoriven]

Lời giải bài 52:

Đặt $z=2cos\alpha ,\alpha \epsilon [0;\pi]$

Từ hệ ban đầu suy ra: $x=2cos3\alpha =>y=2cos9\alpha =>z=2cos27\alpha$

Vậy ta giải phương trình: $cos\alpha =cos27\alpha ,\alpha \epsilon [0;\pi ]$

[demon311]

Lời giải bài 52:

Đặt $z=2cos\alpha ,\alpha \epsilon [0;\pi]$

Từ hệ ban đầu suy ra: $x=2cos3\alpha =>y=2cos9\alpha =>z=2cos27\alpha$

Vậy ta giải phương trình: $cos\alpha =cos27\alpha ,\alpha \epsilon [0;\pi ]$

Phải có nhận xét với $x,y,z \ge 2$ thì như thế nào nữa chứ nhỉ

[nguyenduy287]

b

 

Lời giải bài 52:

Đặt $z=2cos\alpha ,\alpha \epsilon [0;\pi]$

Từ hệ ban đầu suy ra: $x=2cos3\alpha =>y=2cos9\alpha =>z=2cos27\alpha$

Vậy ta giải phương trình: $cos\alpha =cos27\alpha ,\alpha \epsilon [0;\pi ]$

bài của cậu thiếu phần chứng minh x,y,z thuộc khoảng $\begin{bmatrix}-2,2 \end{bmatrix}$

mình sẽ bổ sung 1 cách chứng minh như sau :

từ hệ ban đầu cộng 3 pt vế theo vế ta có $\sum x^3-4\sum x=0 <=>\sum x(x-2)(x+2)=0$ (4)

giả sử $x>2$ thế vào pt 2 (pt giữa ) ta suy ra y>2

thế y vào pt 3  suy ra z>2

do đó mâu thuẫn với pt (4) 

từ đó cm tương tự ta được khoảng nghiệm -2,2 và giải tiếp như cậu

[leminhnghiatt]

Bài 51 : Giải hpt :$\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{2014} \\ \frac{1}{3x+2y}+\frac{1}{3y+2z}+\frac{1}{3z+2x}=\frac{1}{x+2y+2z}+\frac{1}{2x+y+2z}+\frac{1}{2x+2y+z} \end{cases}$

 

Ta có: $x,y,z \geq 0$

 

Áp dụng schwarz ta có:

 

$\dfrac{1}{3x+2y}+\dfrac{4}{3y+2z}+\dfrac{2}{3z+2x}=\dfrac{1}{3x+2y}+\dfrac{1}{3y+2z}+...+\dfrac{1}{3y+2z}+\dfrac{1}{3z+2x}+\dfrac{1}{3z+2x} \geq \dfrac{7}{x+2y+2z}$

 

TT: $\dfrac{2}{3x+2y}+\dfrac{1}{3y+2z}+\dfrac{4}{3z+2x} \geq \dfrac{7}{2x+y+2z}$

 

$\dfrac{4}{3x+2y}+\dfrac{2}{3y+2z}+\dfrac{1}{3z+2x} \geq \dfrac{7}{2x+2y+z}$

 

Cộng các bđt lại ta có: 

 

$\dfrac{1}{3x+2y}+\dfrac{1}{3y+2z}+\dfrac{1}{3z+2x} \geq \dfrac{1}{x+2y+2z}+\dfrac{1}{2x+y+2z}+\dfrac{1}{2x+2y+z}$

 

Dấu "=" xảy ra khi: $x=y=z$

 

Đến đây thay vào (1) $\rightarrow x=y=z=\dfrac{2014}{9}$

[nguyenduy287]

cách giải bài hệ 50 đã được giải tại đây  

Giải:

Nhận thấy hệ có nghiệm $x = y = z = 0$.

Xét $x,y,z \ne 0$. Khi đó phương trình thứ nhất tương đương với

$\dfrac{{3{x^2} + x + 1}}{{{x^2}}} = {\left( {\dfrac{{y + z}}{{yz}}} \right)^2} \Leftrightarrow 3 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = {\left( {\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)^2} \Leftrightarrow 3 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}} + \dfrac{2}{{yz}}\,\,(1)$

Tương tự với hai phương trình còn lại của hệ, ta cũng có:

$4 + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}} + \dfrac{2}{{xz}}\,\,(2)\,\,\,;\,\,\,\,5 + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{{{z^2}}} = \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{2}{{xy}}\,\,(3)$

Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế rồi biến đổi ta được:

${\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)^2} - \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) - 12 = 0$

$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 4\,\,\,\,or\,\,\,\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = - 3$

Đến đây mọi người cùng giải tiếp.

[LuaMi]

Bài 49: ĐKXĐ: $x,y,z\neq 0$

Ta có: $HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=yz(z+x) & \\ y=zx(x+y) & \\ z=xy(y+z) & \end{matrix}\right.$. Trong 3 số $x,y,z$ thì tồn tại hai số cùng dấu, giả sử $xy>0$. Nếu $x,y<0$, từ PT thứ 2 ta suy ra $z<0$. Nếu $x,y>0$, từ PT thứ 2 ta suy ra $z>0$. Ta đi giải trường hợp $x,y,z>0$ (trường hợp $x,y,z<0$ quy về trường hợp đang xét bằng cách đổi biến). Giả sử $x\geq y,x\geq z$. Ta có: $x\geq y\Rightarrow yz^2\geq zx^2\Rightarrow z(yz-x^2)\geq0\Rightarrow yz\geq x^2$

Mà ta lại có: $x\geq y>0,x\geq z>0\Rightarrow x^2\geq yz$. Vậy ta có $x=y=z$. Thế vào giải ra ta được nghiệm là $(\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}})$

(trường hợp $x,y,z<0$ cho nghiệm $(\frac{1}{-\sqrt{2}};\frac{1}{-\sqrt{2}};\frac{1}{-\sqrt{2}})$

[Baoriven]

Bài 46: Giải phương trình:

$18x+16+4\sqrt{2x^2+5x-3}=7\sqrt{4x^2+2x-2}+7\sqrt{2x^2+8x+6}$

Lời giải bài 46:

Điều kiện: $x\geq \frac{1}{2}$, biến đổi phương trình, ta được: 

$2(\sqrt{x+3}+\sqrt{2x-1})^2-7\sqrt{2x+2}(\sqrt{x+3}+\sqrt{2x-1})+6(2x+2)=0$

Đặt $a=\sqrt{x+3}+\sqrt{2x-1},b=\sqrt{2x+2},a,b>0$ ta được: $2a=3b;a=2b$

* Nếu $a=2b\Rightarrow \sqrt{x+3}+\sqrt{2x-1}=2\sqrt{2x+2}$ phương trình này vô nghiệm

* Nếu $2a=3b\Rightarrow 2\sqrt{x+3}+2\sqrt{2x-1}=3\sqrt{2x+2}$ phương trình này có nghiệm x=1(thỏa)

Vậy nghiệm phương trình x=1

Edited by Baoriven, 14-06-2016 - 15:08.

[LuaMi]

Lời giải bài 46:

Điều kiện: $x\geq \frac{1}{2}$, biến đổi phương trình, ta được: 

$2(\sqrt{x+3}+\sqrt{2x-1})^2-7\sqrt{2x+2}(\sqrt{x+3}+\sqrt{2x-1})+6(2x+2)=0$

Đặt $a=\sqrt{x+3}+\sqrt{2x-1},b=\sqrt{2x+2},a,b>0$ ta được: $2a=3b;a=2b$

* Nếu $a=2b\Rightarrow \sqrt{x+3}+\sqrt{2x-1}=2\sqrt{2x+2}$ phương trình này vô nghiệm

* Nếu $2a=3b\Rightarrow 2\sqrt{x+3}+2\sqrt{2x-1}=3\sqrt{2x+2}$ phương trình này có nghiệm x=1(thỏa)

Vậy nghiệm phương trình x=1

 

bài 46 cái căn cuối bạn ghi là -6

[Baoriven]

 

 

bài 46 cái căn cuối bạn ghi là -6

Xin lỗi bạn vì sai lầm này. Do có chút nhầm lẫn trong việc đánh đề

[Baoriven]

Bài 45: (Chưa có lời giải) 

$3x^2+xy-6x-y+2=0$

$\frac{4x^4}{(1+x)^4}=\frac{2xy}{(1+x)^2}+3$

Bài 53: Giải hệ phương trình sau:

$\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}+2(x+y)=4+2\sqrt{xy}$

$\sqrt{x}\sqrt{3x+6\sqrt{xy}}+\sqrt{y}\sqrt{3y+6\sqrt{xy}}-6=0$

Bài 54: Giải phương trình sau:

$16x^5-20x^3+5x+2013=0$

[hoangthihaiyen2000]

Bài 56 : $\begin{cases}x^2(y-z)=\frac{5}{3}\\y^2(z-x)=3 \\ z^2(x-y)=\frac{1}{3} \end{cases}$
Bài 57 : $\begin{cases}tan^{2}x+2cot^{2}2y=1\\tan^{2}y+2cot^{2}2z=1 \\ tan^{2}z+2cot^{2}2x=1 \end{cases}$
Bài 58 : $\begin{cases}x(y+z)=x^{2}+2 \\y(z+x)=y^{2}+3\\ z(x+y)=z^{2}+4 \end{cases}$

Edited by hoangthihaiyen2000, 15-06-2016 - 08:59.

[nguyenduy287]

Bài 57 : ta cộng vế theo vế 3 pt lại ta được $\sum tan^2x+\sum 2cot^2x=3$

mà lại có :$tan^2x+2cot^2x\geq 2\sqrt{2}tanxcotx=2\sqrt{2}$

viết lại 3 bđt tương tự ta thấy $VT\geq 6\sqrt{2}>3=VP$

 Vậy hệ pt đã cho vô nghiệm

[nguyenduy287]

Bài 56: Từ pt(1) suy ra$y\geq z$

từ pt(2) suy ra $z\geq x$

từ pt (3) suy ra $x\geq y$

từ đó x=y=z

khi đó thế vào pt ta thấy hệ đã cho vô nghiệm  

[buiminhhieu]

$59)\left\{\begin{matrix} x^{2}+3y\sqrt{\frac{x^{2}-1}{y}}=1+4y & \\ \sqrt[3]{x+6}+\sqrt{x+y-x^{2}}=y& \end{matrix}\right.$

$60)\left\{\begin{matrix} \sqrt{3x+y}+\sqrt{2x+7y} =10& \\ (\sqrt{x}+\sqrt{y})(\frac{1}{\sqrt{x+3y}}+\frac{1}{\sqrt{3x+y}})=2& \end{matrix}\right.$

$61)\left\{\begin{matrix} x\sqrt{y}+y\sqrt{x}+2(x+y-xy)=4 & \\ x\sqrt{x^{2}+3xy}+y\sqrt{y^{2}+3xy}=4& \end{matrix}\right.$

$62)\left\{\begin{matrix} xy+6y\sqrt{x-1}+12y=4 & \\ \frac{xy}{1+y}+\frac{1}{xy+y}=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}& \end{matrix}\right.$

$63)\left\{\begin{matrix} 9y^{2}(x+3y)=1-x^{3}y^{3} & \\ \sqrt{x^{2}+1}=y+2\sqrt{2} & \end{matrix}\right.$

$64)(x+1)\sqrt{x+2}+(x+6)\sqrt{x+7}=x^{2}+7x+12$

[Baoriven]

Mong các bạn giải xong hãy đóng góp. Các bạn có giải bài thì đóng góp đề mới.

Đừng đăng nhiều bài quá, rất khó theo dõi trong Topic.

Chúng ta sẽ bỏ qua các bài từ 59 đến 64 do đã có ở link này: http://diendantoanho...x6sqrtx7x27x12/

Edited by Baoriven, 15-06-2016 - 15:14.

[An Infinitesimal]

Bài 54: Giải phương trình sau:

$16x^5-20x^3+5x+2013=0$

 

Giải bài 54:

 

Dễ nhận thấy nghiệm phương trình thỏa $|x|>1$.

Vì  $16x^5-20x^3+5x+2013= x(x^2-1)(16x^2-4)+x+2013$ nên phương trình không có nghiệm lớn hơn 1.

Do đó $ x<-1$.

Đặt $x= - \cosh(t)=- \frac{e^t+e^{-t}}{2}$ (với $t>0$).

Nhận xét \[16{\cosh^5(t)}-20{\cosh^3(t)}​+5\cosh(t)= \cosh(5t).\]

Do đó \[\cosh(5t)=2013.\]

Hay \[e^{10t}-4026 e^{5t}+1=0.\]

Suy ra phương trình ban đầu có nghiệm thực duy nhất

\[x= -\frac{\sqrt[5]{2013 - 2\sqrt{1013042}}+\sqrt[5]{2013 + 2\sqrt{1013042}}}{2}.\]

Edited by vanchanh123, 15-06-2016 - 22:21.

[quanminhanh]

có thánh nào biết nhẩm nghiệm của hệ phương trình bằng máy casio ko chỉ mình với cảm ơn nhiều lắm

[An Infinitesimal]

Bài 53: Giải hệ phương trình sau:

$\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}+2(x+y)=4+2\sqrt{xy}$

$\sqrt{x}\sqrt{3x+6\sqrt{xy}}+\sqrt{y}\sqrt{3y+6\sqrt{xy}}-6=0$

 

Giải bài 53:

 

Để giảm rối mắt do các dấu căn làm rối mắt gây ra, ta đặt $a=\sqrt[4]{x}, b=\sqrt[4]{y},$ với $a, b\ge 0$.

Hệ phương trình trở thành

\[a+b+2(a^4+b^4)=4+2a^2b^2,\]

\[a^3 \sqrt{3a^2+6b^2}+b^3 \sqrt{3b^2+6a^2}=6.\]

Từ phương trình thứ nhất, ta suy ra $a+b\ge 2.\$

Dùng BĐT BCS, ta thu được $\sqrt{3x^2+6y^2}\ge x+2y.$

Do đó VT, VT của phương trình thứ 2, thỏa

\[VT\ge a^3(a+2b)+b^3(b+2a) \ge 6.\]

 

Suy ra hệ tương đương \[a=b=1.\]

Vậy hệ ban đầu có nghiệm duy nhất $x=y=1.$

[Baoriven]

Bài 45: Giải hệ phương trình:

$3x^2+xy-6x-y+2=0$

$\frac{4x^4}{(1+x)^4}=\frac{2xy}{(1+x)^2}+3$

Hệ $3(x-1)^2+y(x-1)-1=0(1)$

      $3[\frac{-2x}{3(x+1)^2}]^2+y[\frac{-2x}{3(x+1)^2}]-1=0(2)$

Xét phương trình: $3t^2+yt-1=0(3)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow t_{1}=x-1;t_{2}=\frac{-2x}{3(x+1)^2}$ là 2 nghiệm của phương trình (3).

Theo Viete ta có: $(x-1).\frac{-2x}{3(x+1)^2}=\frac{-1}{3}$

$\Leftrightarrow x=2\pm \sqrt{5}\Rightarrow y=\frac{1-3(1\pm \sqrt{5})^2}{1\pm \sqrt{5}}$

[An Infinitesimal]

Hệ $3(x-1)^2+y(x-1)-1=0(1)$

      $3[\frac{-2x}{3(x+1)^2}]^2+y[\frac{-2x}{3(x+1)^2}]-1=0(2)$

Xét phương trình: $3t^2+yt-1=0(3)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow t_{1}=x-1;t_{2}=\frac{-2x}{3(x+1)^2}$ là 2 nghiệm của phương trình (3).

Theo Viete ta có: $(x-1).\frac{-2x}{3(x+1)^2}=\frac{-1}{3}$

$\Leftrightarrow x=2\pm \sqrt{5}\Rightarrow y=\frac{1-3(1\pm \sqrt{5})^2}{1\pm \sqrt{5}}$

Ý tưởng rất tuyệt vời! Tuy nhiên, mình có vài lý do kết quả sai.

 

Lời giải được hiệu chỉnh lại như sau:

Hiển nhiên $3t^2+yt-1=0 (*)$  luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $y$.

Theo các lập luận của Baoriven, ta có $x-1$ và $\frac{-2x}{3(x+1)^2}$  đều là nghiệm của (*). Hiển nhiên, chúng có thể là hai nghiệm phân biệt, hoặc chúng trùng nhau và phương trình (*) còn một nghiệm khác.

Trường hợp 1:  $\frac{-2x}{3(x+1)^2}\neq x-1$.

Trường hợp 2:  $\frac{-2x}{3(x+1)^2}=x-1$

Trường hợp này cũng cho ra một nghiệm của hệ.