Chủ đề này có 375 trả lời

[Baoriven]

Lời giải bài 32:

$f(x)=x^{9}-9x^{7}+3x^{6}+27x^{5}-18x^{4}-27x^{3}+27x^{2}-1$

Ta có: $f(x)\rightarrow -\infty\Leftrightarrow x\rightarrow -\infty$

$f(2)=3>0; f(-\sqrt{3})=-1<0;f(-1)=19>0;f(0)=-1<0;f(1)=3>0;f(\sqrt{3})=-1<0$

$f(x)\rightarrow +\infty\Leftrightarrow x\rightarrow +\infty$

nên phương trình có 7 nghiệm thực thuộc : $(-\infty;-2 );(-2;-\sqrt{3});(-\sqrt{3};-1);(-1;0);(0;1);(1;\sqrt{3});(\sqrt{3};+\infty )$

[nguyenduy287]

pt nói chứng minh có 7 nghiệm thực chứ k nói là 7 nghiệm thực thuộc đoạn nào bạn ơi .....

[Baoriven]

Chứng minh phương trình có nghiệm thực sao bạn, tui chưa học 

[NTA1907]

Vì trong mấy tuần tới mình có thể không lên diễn đàn thường xuyên được nên xin post tạm mấy bài tập này để các bạn làm. Xong việc nếu còn bài nào chưa có giải thì ta sẽ thảo luận sau:

Bài toán 33(Sưu tầm): Giải phương trình: $\frac{2012}{x+y}+\frac{x}{y+2011}+\frac{y}{4023}+\frac{2011}{2012+x}=\frac{2}{z}$ với $x,y,z\in Z^{+}$

Bài toán 34(Sưu tầm): Tìm mối quan hệ giữa các hệ số để phương trình sau có nghiệm duy nhất: $a\sqrt{10x+1}+b\sqrt{3x-5}=c\sqrt{9x+4}+d\sqrt{2x-2}$

Bài toán 35(Sưu tầm): Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix} &7^{1+x-y}+3^{1+x-y}+7^{1-x+y}+3^{1-x+y}=10^{1+x-y}+10^{1-x+y} \\ &4x^{2}+\sqrt{2x+3}=8y+1 \end{matrix}\right.$

Bài toán 36(Sưu tầm): Cho các phương trình: $x^{2}+ax+1=0$(1); $x^{2}+bx+1=0$(2); $x^{2}+cx+1=0$(3). Biết rằng tích 1 nghiệm của (1) với một nghiệm nào đó của (2) là nghiệm của (3). Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$

Bài toán 37(VMO2002): Xét phương trình $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i^{2}x-1}=\frac{1}{2}$, với n là số nguyên dương. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình nêu trên có một nghiệm duy nhất lớn hơn 1; kí hiệu nghiệm đó là $x_{n}$

Bài toán 38(Sưu tầm): Giả sử phương trình sau có n nghiệm phân biệt: $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0$, ($a_{0}\neq 0$). Chứng minh:

$(n-1)a_{1}^{2}> 2na_{0}a_{2}$

Bài toán 39(Sưu tầm): Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{2x-y}=\dfrac{3}{2} \\ &(x+y+xy+1)(2x-y+1)=\dfrac{125}{64} \end{matrix}\right.$

Bài toán 40(Sưu tầm): Giả sử $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ là các số nguyên dương thoả mãn hệ sau:

$\left\{\begin{matrix} &x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=1000 & & & & \\ &x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}+x_{5}> 0 & & & & \\ &x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}-x_{5}> 0 & & & & \\ &-x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}+x_{5}> 0 & & & & \\ &x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{4}-x_{5}> 0 & & & & \\ &-x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}+x_{5}> 0 & & & & \end{matrix}\right.$

Tìm GTLN của $(x_{1}+x_{3})^{x_{2}+x_{4}}$

 

Spoiler

Nếu làm xong hết đống bài này rồi thì các bạn có thể post thêm bài để thảo luận  

 

\begin{array}{| l | l |} \hline \text{PlanBbyFESN} & 3\\ \hline \text{Issac Newton of Ngoc Tao} & 2\\ \hline \text{tungteng532000} & 1,5\\ \hline \text{nguyenduy287} & 7,5\\ \hline \text{NTA1907} & 7,5\\ \hline \text{leminhnghiatt} & 6\\ \hline \text{haichau0401} & 2\\ \hline \text{chieckhantiennu} & 1\\ \hline \text{the unknown} & 2\\ \hline \text{Thislife} & 2\\ \hline \text{LuaMi} & 1,5\\ \hline \text{Baoriven} & 3\\ \hline \end{array}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 01-06-2016 - 21:38

[Thislife]

Lời giải bài 32:

$f(x)=x^{9}-9x^{7}+3x^{6}+27x^{5}-18x^{4}-27x^{3}+27x^{2}-1$

Ta có: $f(x)\rightarrow -\infty\Leftrightarrow x\rightarrow -\infty$

$f(2)=3>0; f(-\sqrt{3})=-1<0;f(-1)=19>0;f(0)=-1<0;f(1)=3>0;f(\sqrt{3})=-1<0$

$f(x)\rightarrow +\infty\Leftrightarrow x\rightarrow +\infty$

nên phương trình có 7 nghiệm thực thuộc : $(-\infty;-2 );(-2;-\sqrt{3});(-\sqrt{3};-1);(-1;0);(0;1);(1;\sqrt{3});(\sqrt{3};+\infty )$

Bạn đã chỉ ra 7 nghiệm thuộc 7 khoảng kia rồi thì bạn phải cm nó là 7 nghiệm duy nhất.

Nghĩa là bạn phải chứng minh được sự đồng biến (nghịch biến )  của từng khoảng. Vd :$f(-2)f(-\sqrt{3})< 0$, nếu không cm được f(x) đồng biến (nghịch biến) trên $(-2;-\sqrt{3})$  thì có thể có nhiều hơn 1 nghiệm thuộc khoảng $(-2;-\sqrt{3})$ này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thislife: 01-06-2016 - 21:55

[Baoriven]

Lời giải bài 39: 

Đặt $a=\sqrt{x};b=\sqrt{y};c=\sqrt{2x-y}(a,b,c\geq 0,2x\geq y)$

Từ hpt đã cho ta có: $a+b+c=\frac{3}{2} and (a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)=\frac{125}{64}$

Ta chứng minh với a,b,c không âm và $a+b+c=\frac{3}{2}$ thì $(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)\geq \frac{125}{64}$ (1)

Ta có:

$\left(a^{2}+1 \right)\left(b^{2}+1 \right)\left(c^{2}+1 \right)=a^{2}b^{2}c^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}+a^{2}b^{ 2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+1=a^{2}b^{2}c^{2}+\left(a b+bc+ca \right)^{2}-2abc\left(a+b+c \right)+\left(a+b+c \right)^{2}-2\left(ab+bc+ca \right)+1=a^{2}b^{2}c^{2}-3abc+\left(ab+bc+ca \right)^{2}-2\left(ab+bc+ca \right)+\frac{13}{4}\geq \frac{125}{64}$

Thật vậy vì: $0\leq abc\leq \frac{1}{8}\Rightarrow (abc)^2-3abc\geq \frac{-23}{64}$

 $0\leq ab+bc+ca\leq \frac{3}{4}\Rightarrow (ab+bc+ca)^2-2(ab+bc+ca)\geq \frac{-15}{16}$

nên ta được a=b=c=1/2 suy ra x=y=1/4

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 01-06-2016 - 22:41

[Baoriven]

Lời giải bài 36:

Xét x₁,x₂,x₃ lần lượt là nghiệm của từng phương trình (1),(2),(3)

Dễ thấy x₁,x₂,x₃ là 3 nghiệm khác không

Từ đó ta có: $x_{1}+\frac{1}{x_{1}}=-a;x_{2}+\frac{1}{x_{2}}=-b;x_{3}+\frac{1}{x_{3}}=-c$

Suy ra : $x_{1}+x_{2}=-(a+b).\frac{x_{3}}{1+x_{3}}$

Ta có : $(x_{1}+\frac{1}{x_{1}})(x_{2}+\frac{1}{x_{2}})=x_{1}x_{2}+\frac{1}{x_{1}x_{2}}+\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}}{x_{1}x_{2}}-2$

Suy ra: $ab=-c+\frac{(a+b)^{2}}{\frac{1}{x_{3}}+x_{3}+2}-2$

Tư đó được : $ab=-c+\frac{(a+b)^{2}}{-c+2}-2$ => đpcm

[LuaMi]

Bài 33: Đặt: $u=2011,v=2012$. Từ PT ta có: $\frac{2}{z}=\sum \frac{x}{y+u}\geq 2\Rightarrow z\leq 1\Rightarrow z=1$

PT trở thành: $\sum \frac{x}{y+u}=2$. Dấu "=" của bất đẳng thức xảy ra khi $x=2011,y=2012$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LuaMi: 02-06-2016 - 09:05

[NTA1907]

Bài 33: Đặt: $u=2011,v=2012$. Từ PT ta có: $\frac{2}{z}=\sum \frac{x}{y+u}\geq 2\Rightarrow z\leq 1\Rightarrow z=1$

PT trở thành: $\sum \frac{x}{y+u}=2$. Dấu "=" của bất đẳng thức không xảy ra. Vậy PT vô nghiệm

Kết quả Bài 33: $x=2011, y=2012, z=1$

[LuaMi]

Bài 35: Điều kiện: $x\geq \frac{-3}{2},y\geq \frac{-1}{8}$. Đặt: $t=x-y$. Ta có PT đầu trở thành:$7^{1+t}+3^{1+t}+7^{1-t}+3^{1-t}=10^{1+t}+10^{1-t}$

Dễ chứng minh được bổ đề sau: Với $a>b>1$ và số thực $m$ thì bất đẳng thức sau luôn đúng: $a^m+a^{-m}\geq b^m+b^{-m}$. Dấu $"="$ xảy ra khi $m=0$

Từ bổ đề ta có:

$\left\{\begin{matrix} 10^t+10^{-t}\geq 3^t+3^{-t} \\ 10^t+10^{-t}\geq 7^t+7^{-t} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3(10^t+10^{-t})\geq 3^{1+t}+3^{1-t} \\ 7(10^t+10^{-t})\geq 7^{1+t}+7^{1-t} \end{matrix}\right.$

Suy ra: $7^{1+t}+3^{1+t}+7^{1-t}+3^{1-t}\leq 10^{1+t}+10^{1-t}$. Từ đó ta có: $t=0$ hay $x=y$. Thế xuống PT dưới, ta được PT: $4x^2+\sqrt{2x+3}=8x+1\Leftrightarrow 4x^2-6x+\frac{9}{4}=2x+3-\sqrt{2x+3}+\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow (2x-\frac{3}{2})^2=(\sqrt{2x+3}-\frac{1}{2})^2$

...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LuaMi: 02-06-2016 - 15:44

[LuaMi]

Bài toán 32(Sưu tầm): Chứng minh phương trình sau có 7 nghiệm thực: $g(x)=x^{9}-9x^{7}+3x^{6}+27x^{5}-18x^{4}-27x^{3}+27x^{2}-1=0$

 

Ta có: $g'(x)=9x(x-1)^3(x+1)(x+2)(x^2-3)$. Lập bảng biến thiên ta có ngay đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LuaMi: 02-06-2016 - 16:13

[Baoriven]

lời giải

 

Bài 35: Điều kiện: 

x≥−32,y≥−18x≥−32,y≥−18. Đặt: t=x−yt=x−y. Ta có PT đầu trở thành:71+t+31+t+71−t+31−t=101+t+101−t71+t+31+t+71−t+31−t=101+t+101−t

Dễ chứng minh được bổ đề sau: Với a>b>1a>b>1 và số thực mm thì bất đẳng thức sau luôn đúng: am+a−m≥bm+b−mam+a−m≥bm+b−m. Dấu "=""=" xảy ra khi m=0m=0

Từ bổ đề ta có:

{10t+10−t≥3t+3−t10t+10−t≥7t+7−t⇒{3(10t+10−t)≥31+t+31−t7(10t+10−t)≥71+t+71−t{10t+10−t≥3t+3−t10t+10−t≥7t+7−t⇒{3(10t+10−t)≥31+t+31−t7(10t+10−t)≥71+t+71−t

Suy ra: 71+t+31+t+71−t+31−t≤101+t+101−t71+t+31+t+71−t+31−t≤101+t+101−t. Từ đó ta có: t=0t=0 hay x=yx=y. Thế xuống PT dưới, ta được PT: 4x2+√2x+3=8x+1⇔4x2−6x+94=2x+3−√2x+3+144x2+2x+3=8x+1⇔4x2−6x+94=2x+3−2x+3+14

⇔(2x−32)2=(√2x+3−12)2⇔(2x−32)2=(2x+3−12)2

...

Bài 35 của bạn LuaMi cho tui hỏi cm bđt đó sao vậy bạn

[CHU HOANG TRUNG]

Bài 36. Giải phương trình 
 $x(\sqrt{2x+5}+\sqrt[3]{7x+13})=3x+6$

[LuaMi]

Bài 37: Đặt: $f(x)=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i^2x-1}-\frac{1}{2}$

Với mọi $x_0>2n+1\geq 3$ thì $f(x_0)<0$. Ta có: $f(3)\geq 0$. Suy ra: $f(x_0).f(3)\leq 0$ hay PT có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 3 hay PT có nghiệm lớn hơn 1

Giả sử PT có ít nhất hai nghiệm lớn hơn 1 phân biệt là $x_1,x_2$. Ta có:

$\left\{\begin{matrix} \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i^2x_1-1}=\frac{1}{2} & \\ \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i^2x_2-1}=\frac{1}{2} & \end{matrix}\right. \Rightarrow (x_1-x_2)(\sum_{i=1}^{n}\frac{i^2}{(i^2x_1-1)(i^2x_2-1)})=0\Rightarrow x_1=x_2$. Từ đó suy ra PT có duy nhất một nghiệm lớn hơn 1

[Baoriven]

Lời giải bài 38:

$f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}$

Nhận thấy rằng, f khả vi vô hạn trên R nên

f'(x) có n-1 nghiệm phân biệt

f''(x) có n-2 nghiệm phân biệt

$f^{[n-2]}(x)=\frac{n!}{2}a_{0}x^{2}+(n-1)!a_{1}x+(n-2)!a_{2}$ có 2 nghiệm phân biệt

Dùng Delta>0 ta có đpcm rồi 

[Baoriven]

Xin post bài này nha. Dạo này topic ko nhận được nhiều lời giải

Bài 41:

$x^{6}-2017x^{2}+\sqrt{2016}=0$

[nguyenduy287]

Xin post bài này nha. Dạo này topic ko nhận được nhiều lời giải

Bài 41:

$x^{6}-2017x^{2}+\sqrt{2016}=0$

đặt $\sqrt{2016}=a$

pt viết lại $x^6-(a^2+1)x^2+a=0$

$(x^2-a)(x^4+ax^2-1)=0$

suy ra 1 nghiệm pt là $x=\pm \sqrt[4]{2016}$

pt còn lại là pt trùng phương đặt ẩn phụ là ra nhé

[nguyenduy287]

mình có chút ý tưởng hơi dở bài 34 như sau  

pt viết lại $2a\sqrt{10x+1}+2b\sqrt{3x-5}=2c\sqrt{9x+4}+2d\sqrt{2x-2}$

$(\sqrt{10x+1}+a)^2-(\sqrt{3x-5}-b)^2=(\sqrt{9x+4}+c)^2-(\sqrt{2x-2}-d)^2+a^2-c^2-b^2+d^2$

$(\sqrt{10x+1}+a)^2-(\sqrt{9x+4}+c)^2-((\sqrt{3x-5}-b)^2-(\sqrt{2x-2}-d)^2)=(a-c)(a+c)-(b-d)(b+d)$

$(\frac{x-3}{\sqrt{10x+1}+\sqrt{9x+4}}+a-c)(\frac{x-3}{\sqrt{10x+1}-\sqrt{9x+4}}+a+c)-(\frac{x-3}{\sqrt{3x-5}+\sqrt{2x-2}}-(b-d))(\frac{x-3}{\sqrt{3x-5}-\sqrt{2x-2}}-(b+d))=(a-c)(a+c)-(b-d)(b+d)$

khai triển rút gọn đặt nhân tử chung ta được 

$(x-3)(\frac{a-c}{\sqrt{10x+1}-\sqrt{9x+4}}+\frac{a+c}{\sqrt{10x+1}+\sqrt{9x+4}}+\frac{b-d}{\sqrt{3x-5}-\sqrt{2x-2}}+\frac{b+d}{\sqrt{3x-5}+\sqrt{2x-2}})=0$

ta chỉ cần chứng minh phần còn lại trong ngoặc vô nghiệm là được rồi  

cách dở quá bạn nào có cách nào hay hơn thì đăng cho anh em học hỏi nhan

[Baoriven]

nguyenduy287 đăng đề để giải tiếp luôn bạn. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 07-06-2016 - 14:36

[nguyenduy287]

BÀI 42: $18x^2-18x\sqrt{x}-17x-8\sqrt{x}-2=0$