Chủ đề này có 1 trả lời

[Andora]

Cho x, y, z là 3 số thực thỏa mãn $x, y, z \geq 0$ và $\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+2y}+\sqrt{1+2z}=5$

Tìm GTLN của biểu thức $P=2x^{3}+y^{3}+z^{3}$

[tungteng532000]

Từ giả thiết, ta có:
$\sqrt{1+x^2}=5-\sqrt{1+2y}-\sqrt{1+2z}\leq 3 \Rightarrow x\leq \sqrt{8}$
$\sqrt{1+2y}=5-\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+2z}\leq 3\Rightarrow y\leq 4$
Tương tự $z\leq 4$
Ta có: $2x^3\leq 32\sqrt{1+x^2}-32\Leftrightarrow 2x^2(x-\frac{16}{\sqrt{1+x^2}+1})\leq 0$ (đúng với $x\leq \sqrt{8}$ )
$y^3\leq 32\sqrt{1+2y}-32\Leftrightarrow (y^3+32)\leq 32\sqrt{1+2y}\Leftrightarrow y(y-4)(y^4+4y^3+16y^2+128y+512)\leq 0$ (đúng với $0\leq y\leq 4$
Tương tự: $z^3\leq 32\sqrt{1+2z}-32$
Cộng theo vế, ta có: $P\leq 64$
Đẳng thức xảy ra khi x=0,y=4,z=0 hoặc x=0,y=0,z=4.