Chứng minh rằng (n+1)(n+2)...(3n) chia hết cho $3^n$ với mọi số tự nhiên n
Chứng minh rằng (n+1)(n+2)...(3n) chia hết cho $3^n$ với mọi số tự nhiên n
#1
Đã gửi 29-05-2016 - 19:29
#2
Đã gửi 29-05-2016 - 21:51
Bài này dùng quy nạp thôi bạn.
*)Xét mệnh đề với n=1 ta có:
$(n+1)(n+2)...(3n)=2.3=6\vdots 3^{1}$
Suy ra mệnh đề đúng với n=1.
*) Ta giả sử với n=k$(k \in N^{*} )$ thì mệnh đề đúng.
$\Rightarrow (k+1)(k+2)...(3k)\vdots 3^{k}$
Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1
Thật vậy, ta có với n=k+1 thì
$(n+1)(n+2)..(3n)=(k+2)(k+3)...(3k)(3k+1)(3k+2)(3k+3)=3.(k+1)(k+2)(k+3)...(3k)(3k+1)(3k+2)$
Mà $(k+1)(k+2)...(3k)\vdots 3^{k}$
$\Rightarrow 3(k+1)(k+2)...(3k)\vdots 3^{k+1}$
$\Rightarrow (n+1)(n+2)...(3n)\vdots 3^{k+1}$
Suy ra mệnh đề đúng với n=k+1
Theo nguyên lí quy nạp toán học ta có đpcm.
- xuantungjinkaido yêu thích
Tập tõm bước đi trên con đường toán học.
#3
Đã gửi 29-05-2016 - 21:56
Ta có $\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )...\left ( 3n \right )=\frac{\left ( 3n \right )!}{n!}$
Để chứng minh $\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )...\left ( 3n \right )$ chia hết cho $3^n$ ta sẽ chứng minh số mũ của thùa số nguyên tố3 trong phép phân tích thừa số nguyên tố của $\frac{\left ( 3n \right )!}{n!}$ lớn hoặc bằng hơn $n$
Ta có công thức tính số mũ của một giai thừa trong phép phân tích số nguyên tố $p$ sẽ là $v_p^{n!}=\sum_{i=1 }^{+\infty}\left [ \frac{n}{p^i} \right ]$
Do đó ta có: $v_3^{\frac{\left ( 3n \right )!}{n!}}=v_3^{\left ( 3n \right )!}-v_3^{n!}=\sum_{i=1}^{+\infty }\left [ \frac{3n}{3^i} \right ]-\sum_{i=1}^{+\infty }\left [ \frac{n}{3^i} \right ]=\sum_{i=1}^{+\infty }\left [ \frac{n}{3^{i-1}} \right ]-\sum_{i=1}^{+\infty }\left [ \frac{n}{3^i} \right ]=\left [ \frac{n}{3^{1-1}} \right ]=n$
Vậy ta có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi takarin1512: 29-05-2016 - 21:57
- Element hero Neos và phuocchubeo thích
#4
Đã gửi 30-05-2016 - 18:03
Ta có $\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )...\left ( 3n \right )=\frac{\left ( 3n \right )!}{n!}$
Để chứng minh $\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )...\left ( 3n \right )$ chia hết cho $3^n$ ta sẽ chứng minh số mũ của thùa số nguyên tố3 trong phép phân tích thừa số nguyên tố của $\frac{\left ( 3n \right )!}{n!}$ lớn hoặc bằng hơn $n$
Ta có công thức tính số mũ của một giai thừa trong phép phân tích số nguyên tố $p$ sẽ là $v_p^{n!}=\sum_{i=1 }^{+\infty}\left [ \frac{n}{p^i} \right ]$
Do đó ta có: $v_3^{\frac{\left ( 3n \right )!}{n!}}=v_3^{\left ( 3n \right )!}-v_3^{n!}=\sum_{i=1}^{+\infty }\left [ \frac{3n}{3^i} \right ]-\sum_{i=1}^{+\infty }\left [ \frac{n}{3^i} \right ]=\sum_{i=1}^{+\infty }\left [ \frac{n}{3^{i-1}} \right ]-\sum_{i=1}^{+\infty }\left [ \frac{n}{3^i} \right ]=\left [ \frac{n}{3^{1-1}} \right ]=n$
Vậy ta có đpcm
cách này sao nghĩ ra được,mình nghĩ cách bạn đầu tiên là ok rồi
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh