4 replies to this topic

[baopbc]

Như vậy thầy Hùng đã đưa ra lời giải bài cũ trong tuần 1 tháng 6 và kèm theo đó là bài toán mới:

 

Bài 41. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $\odot (O).E,F$ là các điểm bất kì lần lượt nằm trên các đoạn thẳng $CA,AB$. Các tia $EF,FE$ lần lượt cắt $\odot (O)$ tại các điểm $G,H.\odot (I)$ tiếp xúc với các đoạn thẳng $FG,FA$ tại $P,Q$ và tiếp xúc trong $\odot (O).\odot (J)$ tiếp xúc với các đoạn thẳng $EH,EA$ tại $M,N$ và tiếp xúc trong $\odot (O).MN$ cắt $PQ$ tại $R.AK$ là đường cao của tam giác $AEF$. Chứng minh rằng $AR$ là phân giác $\angle OAK$.

Hình vẽ bài toán

P/s: Anh em nào có ý tưởng gì cho việc đặt tiêu đề không?

 

Edited by baopbc, 29-05-2016 - 20:24.

[dogsteven]

Theo bổ đề Sawayama thì $PQ$ và $MN$ sẽ cùng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $AGH$ là $R$

Do đó $AR$ là phân giác góc $GAH$, mà $AK, AO$ đẳng giác góc $A$ tam giác $AGH$ nên $AR$ là phân giác góc $OAK$

P/s. Góp ý về tiêu đề: "Mô hình phân giác với các đường tròn tiếp xúc"

Nghe lúa quá :v

Edited by dogsteven, 29-05-2016 - 20:30.

[quanghung86]

Bài này là tổng quát một bài thi vô địch Nga, lời giải của Khoa rất chuẩn rồi. Bài toán nằm trong chuỗi bài viết về định lý Sawayama và Thébault trong các bài hình học thi Olympic sẽ có trong kỳ số Epsilon 8.

 

Tuy nhiên đúng là khi tổng quát lên thì bài toán khá dễ thấy qua định lý Sawayama và Thébault. Chú ý rằng trường hợp riêng khi $EF\parallel BC$ thì $MN$ và $PQ$ cắt nhau trên phân giác góc $A$. Do đó mình đề xuất một bài toán liên quan như sau

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn $(J),(I)$ lần lượt tiếp xúc đoạn $CA,AB$ tại $N,Q$ và tiếp xúc trong $(O)$. Gọi $MP$ là một tiếp tuyến chung ngoài của $(J),(I)$. Chứng minh rằng $MN$ và $PQ$ cắt nhau trên phân giác $\angle BAC$ khi và chỉ khi $MP\parallel BC$.

[cleverboy]

Ta có thể phát biểu lại bài toán như sau

Một bài toán liên quan đến cấu hình này

 

[baopbc]

Bài toán 2 bản chất chỉ là hệ quả của bổ đề quen thuộc sau:

Bổ đề. Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $AB.\odot (I)$ tiếp xúc $AB$ tại $S$ và tiếp xúc $\odot (O)$ tại $M$. Khi đó $MS$ đi qua điểm chính giữa cung $AB$ không chứa $M$.

Chứng minh. Ta có: $\frac{IS}{OT}=\frac{IM}{OM}$ nên theo định lí $Talet$ thì $IS\parallel OT$. Mặt khác $IS\perp AB$ nên $OT\perp AB\Longrightarrow T$ là điểm chính giữa cung $AB$ không chứa $M$.

Giải bài toán. Giả sử $G,H$ lần lượt là giao của $PM$ với $\odot (O)$.

$PQ$ cắt $MN$ tại $X$. Theo bổ đề Sayawama thì $X$ là tâm nội tiếp tam giác $AGH\Longrightarrow AX$ đi qua điểm chính giữa cung $GH$.

Theo bổ đề trên ta suy ra $SM,TP$ cùng đi qua điểm chính giữa cung $GH$. Gọi điểm đó là $Y$. Hiển nhiên $\overline{A,X,Y}$ nên theo định lí Dersagues ta suy ra $NQ,MP,UV$ đồng quy. $\blacksquare$

Edited by baopbc, 31-05-2016 - 16:46.