4 - BĐT: Hàm số một biến
#1
Đã gửi 30-05-2016 - 16:19
- tpdtthltvp, ineX và baopbc thích
#2
Đã gửi 31-05-2016 - 10:13
Chuỗi 2:
Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:
- tpdtthltvp, ineX và baopbc thích
#3
Đã gửi 01-06-2016 - 07:16
- baopbc yêu thích
#4
Đã gửi 01-06-2016 - 15:09
Chuỗi 1:Cho x, y và z là ba số thực dương.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$P=\frac{1}{x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}}-\frac{2}{\sqrt{x+y+z}}.$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq x+\dfrac{x+4y}{4}+\dfrac{x+4y+16z}{12}=\dfrac{4}{3}(x+y+z)$
Đặt $\sqrt{x+y+z}=t$ thì $P\geq \dfrac{3}{4t^2}-\dfrac{2}{t}\geq \dfrac{-4}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi $16z=4y=x=\dfrac{3}{7}$
Chuỗi 2:
Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:
$xy+yz+zx=1.$Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$P=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}}+\frac{5}{2}(x+1)(y+1)(z+1).$
Giả sử $c=\min \{a,b,c\}$, khi đó ta có $\sum \dfrac{1}{x^2+y^2}\geq \dfrac{10}{(x+y+z)^2}$
Lại có $(x+1)(y+1)(z+1)=xyz+1+x+y+z+xy+yz+zx\geq x+y+z+2$
Đặt $t=x+y+z$ với $t\in [0;\sqrt{3}]$ thì $P\geq \dfrac{10}{t^2}+\dfrac{5(t+2)}{2}\geq \dfrac{35}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1,c=0$ cùng các hoán vị
- tpdtthltvp, ineX và baopbc thích
#5
Đã gửi 03-06-2016 - 07:13
Bài toán 2:
Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MathematicsNMN2016: 03-06-2016 - 07:13
- tpdtthltvp, ineX và baopbc thích
#7
Đã gửi 03-06-2016 - 16:17
#8
Đã gửi 03-06-2016 - 21:05
Giả sử $z=\min \{x,y,z\}$, khi đó ta có $\sum \dfrac{1}{x^2+y^2}\geq \dfrac{10}{(x+y+z)^2}$
Lại có $(x+1)(y+1)(z+1)=xyz+1+x+y+z+xy+yz+zx\geq x+y+z+2$
Đặt $t=x+y+z$ với $t\geq \sqrt{3}$ thì $P\geq \dfrac{10}{t^2}+\dfrac{5(t+2)}{2}\geq \dfrac{25}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1, z=0$ cùng các hoán vị
Bạn nên xem lại những chỗ bôi đen và có thể giải thích tại sao lại nghĩ đến chỗ màu đỏ và nói rõ hơn được không nhỉ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MathematicsNMN2016: 03-06-2016 - 21:06
#9
Đã gửi 04-06-2016 - 02:12
Bài toán 2:
Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:
$x+y+z=3.$Chứng minh rằng:$x+xy+2xyz\leq \frac{9}{2}.$P/S:Có bạn nào có hướng tiếp cận cho Bài toán 1 chưa?
dự đoán $x=\frac{3}{2};y=1;z=\frac{1}{2}$
ta có $x+xy+2xyz=x+xy(1+2z)\leq x+2x(\frac{b+c+\frac{1}{2}}{2})^{2}=x+2x(\frac{7-2x}{4})^{2}$
cần cm $x+2x(\frac{7-2x}{4})^{2}\le \frac{9}{2}$
<=> $(4-a)(2a-3)^{2}\ge 0$
dấu = $x=\frac{3}{2};y=1;z=\frac{1}{2}$
- rainbow99, kimchitwinkle, ineX và 3 người khác yêu thích
Họ cười tôi vì tôi khác họ
Tôi cười họ vì tôi mắc cười
#12
Đã gửi 06-06-2016 - 06:45
- tpdtthltvp và baopbc thích
#13
Đã gửi 07-06-2016 - 07:22
Bài toán 6:
Cho x, y và z là ba số thực dương.
- baopbc yêu thích
#14
Đã gửi 08-06-2016 - 07:31
Bài toán 7:
- tpdtthltvp và baopbc thích
#15
Đã gửi 08-06-2016 - 13:00
Bài toán 6:
Cho x, y và z là ba số thực dương.
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$P=\frac{1}{3x+4y+4\sqrt{zx}}+\frac{1}{3x+2y+6\sqrt[3]{xyz}}-\frac{1}{\sqrt{7(x+y+z)}}.$P/S:Có bạn nào có hướng tiếp cận cho 2 Bài toán 2 và 5 chưa?
Áp dụng BĐT $AM-GM,$ ta có:
$$4\sqrt{xz}\leq x+4z$$
Và:
$$6\sqrt[3]{xyz}\leq x+2y+4z$$
Do đó:
$$P\geq \frac{1}{4(x+y+z)}+\frac{1}{4(x+y+z)}-\frac{1}{\sqrt{7(x+y+z)}}$$
Đặt $\sqrt{x+y+z}=t.$ Tới đấy xét hàm:
$$f(t)=\frac{1}{2t^2}-\frac{1}{\sqrt{7}t}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 08-06-2016 - 13:00
- baopbc, hoakute và MathematicsNMN2016 thích
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
#17
Đã gửi 10-06-2016 - 08:08
Các bài toán con cho Chuỗi 2:
- tpdtthltvp và baopbc thích
#18
Đã gửi 11-06-2016 - 07:35
- tpdtthltvp và baopbc thích
#19
Đã gửi 12-06-2016 - 07:53
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MathematicsNMN2016: 12-06-2016 - 20:27
- baopbc yêu thích
#20
Đã gửi 13-06-2016 - 08:47
- tpdtthltvp và baopbc thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh