Chủ đề này có 2 trả lời

[linhphammai]

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = abc + 2. Chứng minh rằng

$\frac{ab( 2 - c )}{a^{2} + abc + b^{2}} + \frac{bc( 2 - a )}{b^{2} + abc + c^{2}} + \frac{ca( 2 - b )}{c^{2} + abc + a^{2}} \leq 1$

[thuylinhnguyenthptthanhha]

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = abc + 2. Chứng minh rằng

$\frac{ab( 2 - c )}{a^{2} + abc + b^{2}} + \frac{bc( 2 - a )}{b^{2} + abc + c^{2}} + \frac{ca( 2 - b )}{c^{2} + abc + a^{2}} \leq 1$

cậu ơi Cauchy chay là ra mà nhỉ? 

[KietLW9]

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\frac{(a+b)^2}{a^2+abc+b^2}+\frac{(b+c)^2}{b^2+abc+c^2}+\frac{(c+a)^2}{c^2+abc+a^2}\leqslant 4$

Theo Cauchy-Schwarz, ta được: $\frac{(a+b)^2}{a^2+abc+b^2}\leqslant \frac{a^2}{a^2+\frac{abc}{2}}+\frac{b^2}{b^2+\frac{abc}{2}}=\frac{2a}{2a+bc}+\frac{2b}{b+ca}$

Tương tự rồi cộng lại, ta cần chứng minh: $\frac{a}{2a+bc}+\frac{b}{2b+ca}+\frac{c}{2c+ab}\leqslant 1$

$\Leftrightarrow abc(a^2+b^2+c^2+abc-4)\geqslant 0$

Theo nguyên lí Dirichlet trong 3 số $a-1,b-1,c-1$ tồn tại ít nhất hai số cùng dấu, giả sử là $a-1$ và $b-1$ thì $(a-1)(b-1)\geqslant 0\Leftrightarrow ab\geqslant a+b-1\Rightarrow abc\geqslant ac+bc-c\Leftrightarrow ab+c\geqslant ab+bc+ca-abc=2\Rightarrow abc+c^2\geqslant 2c$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc\geqslant 2ab+2c\geqslant 4$

Ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 05-09-2021 - 20:18