Chủ đề này có 2 trả lời

[iloveyouproht]

Cho a,b,c>0 ; abc=1 .Tim Max : $\frac{1}{a^{5}+b^{5}+ab} + \frac{1}{b^{5}+c^{5}+bc} + \frac{1}{c^{5}+a^{5}+ac}$

[leminhnghiatt]

Cho a,b,c>0 ; abc=1 .Tim Max : $\frac{1}{a^{5}+b^{5}+ab} + \frac{1}{b^{5}+c^{5}+bc} + \frac{1}{c^{5}+a^{5}+ac}$

Bạn tham khảo bài này

 

bổ đề 1: $x^5+y^5 \ge x^2.y^2(x+y)$

 

thật vậy, ta có: $x^5+y^5=(x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)=(x+y)((x-y)^2(x^2-xy+y^2)+x^2y^2)$.

 

Vì $(x-y)^2(x^2-xy+y^2) \ge 0$ nên $((x-y)^2(x^2-xy+y^2)+x^2y^2) \ge x^2y^2$ nên ta có đpcm.

 

Trở lại bài toán:

 

$\frac{ab}{a^5+b^5+ab} \le \frac{ab}{a^2b^2(a+b)+ab}=\frac{1}{ab(a+b)+1}=\frac{c}{abc(a+b)+c}=\frac{c}{a+b+c}$

 

Tương tự với 2 cái còn lại rồi cộng lại được đpcm.

 

p/s

nhầm đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 03-06-2016 - 00:29

[Nam Duong]

 

Bạn tham khảo bài này ( quocbaolqd11 )

 

bổ đề 1: $x^5+y^5 \ge x^2.y^2(x+y)$

 

thật vậy, ta có: $x^5+y^5=(x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)=(x+y)((x-y)^2(x^2-xy+y^2)+x^2y^2)$.

 

Vì $(x-y)^2(x^2-xy+y^2) \ge 0$ nên $((x-y)^2(x^2-xy+y^2)+x^2y^2) \ge x^2y^2$ nên ta có đpcm.

 

Trở lại bài toán:

 

$\frac{ab}{a^5+b^5+ab} \le \frac{ab}{a^2b^2(a+b)+ab}=\frac{1}{ab(a+b)+1}=\frac{c}{abc(a+b)+c}=\frac{c}{a+b+c}$

 

Tương tự với 2 cái còn lại rồi cộng lại được đpcm.

 

bạn làm sai đề rồi