Chủ đề này có 16 trả lời

[thanhbui20]

Cho các số thực a,b,c không âm thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=2(ab+bc+ca)+\frac{1}{ab+bc+ca}$

[anh892007]

 Dễ dàng thấy$ab+bc+ca \leq 3$

Đặt $t=ab+bc+ca$,như vậy $ t \leq 3$

$P(t) = 2t+ \frac{1}{t}$

$P'(t)=2-\frac{1}{t^2} <0$ (Do $t \leq 3$ )

Nên $P(t)$ nghịch biến

Nên $P(t) \geq P(3) = 6+\frac{1}{3} = \frac{19}{3}$

Vậy $ MinP =\frac{19}{3} $

$ \Leftrightarrow a=b=c=1 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh892007: 09-06-2016 - 15:15

[thanhbui20]

 Dễ dàng thấy$ab+bc+ca \leq 3$

Đặt $t=ab+bc+ca$,như vậy $ t \leq 3$

$P(t) = 2t+ \frac{1}{t}$

$P'(t)=2-\frac{1}{t^2} <0$ (Do $t \leq 3$ )

Nên $P(t)$ nghịch biến

Nên $P(t) \geq P(3) = 6+\frac{1}{3} = \frac{19}{3}$

Vậy $ MinP =\frac{19}{3} $

$ \Leftrightarrow a=b=c=1 $

Bạn giải thích rõ chỗ P'(t) giúp mình với và đây là phương pháp gì vậy ạ ?

[anh892007]

Bạn giải thích rõ chỗ P'(t) giúp mình với và đây là phương pháp gì vậy ạ ?

Bạn chưa học đến đạo hàm à?@@

[thanhbui20]

Bạn chưa học đến đạo hàm à?@@

mình có vài khái niệm rồi :v

nhưng tại sao chỗ đấy lại không hiểu :v

[thinhnarutop]

Ta có P(t)' < 0 suy ra P(t) là hàm nghịch biến
Theo tính chất hàm nghịch biến thì
t <= 3 suy ra P(t) >= P(3)

[kisi]

. Nếu không hiểu cách trình bày thì bạn chỉ cần biết điểm rơi nó ở đâu rồi chứng minh tương đương vẫn được nhé =)))

[anh892007]

Lời giải của mình có vấn đề đó ,chết thật,ko chú ý @@

$2-\frac{1}{t^2} $ chưa chắc $ \leq 0$

Phải xét trường hợp rồi @@!

sr sr

Nếu $3 \geq t \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$ thì P{t} đồng biến trên $[\frac{1}{\sqrt{2}} ;\infty]$

Nên $P(t) \geq P(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 2\sqrt{2} $

Còn trường hợp $ 0<t<\frac{1}{\sqrt{2}} $ thì như trên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh892007: 09-06-2016 - 17:24

[thanhbui20]

Lời giải của mình có vấn đề đó ,chết thật,ko chú ý @@

$2-\frac{1}{t^2} $ chưa chắc $ \leq 0$

Phải xét trường hợp rồi @@!

sr sr

Nếu $3 \geq t \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$ thì P{t} đồng biến trên $[\frac{1}{\sqrt{2}} ;\infty]$

Nên $P(t) \geq P(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 2\sqrt{2} $

Còn trường hợp $ 0<t<\frac{1}{\sqrt{2}} $ thì như trên

em muốn hỏi F'(x) là cái j ạ :v

[Baoriven]

f'(x) là đạo hàm đấy em. Lên THPT người ta đa số tìm cực trị bằng pp này

[Nguyen Van Luc]

Bài này đề hơi dở. Với đề này, cứ Cauchy bình thường thôi. 
Do $a+b+c=3$ nên ta có $0 \leq  ab+bc+ca \leq 3$

Dùng BĐT Cauchy, ta có: $P=2(ab+bc+ca)+\frac{1}{ab+bc+ca} \geq 2\sqrt{2(ab+bc+ca).\frac{1}{ab+bc+ca}}=2\sqrt{2} $.

Dấu bằng xảy ra khi $2(ab+bc+ca)=\frac{1}{ab+bc+ca} \Leftrightarrow  ab+bc+ca=\frac{1}{\sqrt{2}} $ (thoả mãn điều kiện)

Mà $a+b+c=3$ nên giả sử $a=t$ ($t$ là nghiệm thuộc [0;3] của BPT $t^2-3t+\frac{1}{\sqrt{2}}  \geq 0 $ ), khi đó, $b,c$ là nghiệm của phương trình: $ X^2 +(t-3)X+t^2-3t+\frac{1}{\sqrt{2}} =0 $

~~~~~~~~~~~~

### có lẽ nên kiểm tra lại đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Van Luc: 10-06-2016 - 20:43

[HoaiBao]

Bài này đề hơi dở. Với đề này, cứ Cauchy bình thường thôi. 
Do $a+b+c=3$ nên ta có $0 \leq  ab+bc+ca \leq 3$

Dùng BĐT Cauchy, ta có: $P=2(ab+bc+ca)+\frac{1}{ab+bc+ca} \geq 2\sqrt{2(ab+bc+ca).\frac{1}{ab+bc+ca}}=2\sqrt{2} $.

Dấu bằng xảy ra khi $2(ab+bc+ca)=\frac{1}{ab+bc+ca} \Leftrightarrow  ab+bc+ca=\frac{1}{\sqrt{2}} $ (thoả mãn điều kiện)

Mà $a+b+c=3$ nên giả sử $a=t$ ($t$ là nghiệm thuộc [0;3] của BPT $t^2-3t+\frac{1}{\sqrt{2}}  \geq 0 $ ), khi đó, $b,c$ là nghiệm của phương trình: $ X^2 +(t-3)X+t^2-3t+\frac{1}{\sqrt{2}} =0 $

~~~~~~~~~~~~

### có lẽ nên kiểm tra lại đề

hình như bạn làm sai

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoaiBao: 10-06-2016 - 21:01

[Nguyen Van Luc]

đọc kỹ phần dấu bằng nha bạn. nó hơi loằng ngoằng đấy..hi ... dò nào khoai lang đấy thôi.. 

[thanhbui20]

bài này trong Công phá bất ạ, em bí quá :3

[anh892007]

Đúng là đề hơi dở @@

[kienvuhoang]

 Dễ dàng thấy$ab+bc+ca \leq 3$

Đặt $t=ab+bc+ca$,như vậy $ t \leq 3$

$P(t) = 2t+ \frac{1}{t}$

$P'(t)=2-\frac{1}{t^2} <0$ (Do $t \leq 3$ )

Nên $P(t)$ nghịch biến

Nên $P(t) \geq P(3) = 6+\frac{1}{3} = \frac{19}{3}$

Vậy $ MinP =\frac{19}{3} $

$ \Leftrightarrow a=b=c=1 $

Giá trị bạn tìm được là  Max chứ không phải Min

Ta có:$2(ab+bc+ca)+\frac{1}{ab+bc+ca}\geq 2\sqrt{2}$(theo AM-GM)

Đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow$$ab+bc+ca=\frac{1}{\sqrt{2}}$(thỏa mãn $0\leq ab+bc+ca\leq 3$)

Vậy MinP=$2\sqrt{2}\Leftrightarrow ab+bc+ca=\frac{1}{\sqrt{2}}$

[anh892007]

Thì mình bảo mình làm sai mà ,thế bạn chỉ ra a,b,c bằng mấy đi nào