4 replies to this topic

[I Love MC]

$a,b,c>0$ và $abc=1$ . C/m $\sum \frac{a+3}{(a+1)^2} \ge 3$

[tungteng532000]

TST UK 2005

[tungteng532000]

$a,b,c>0$ và $abc=1$ . C/m $\sum \frac{a+3}{(a 

 

http://diendantoanho...attach_id=22226

Edited by tungteng532000, 10-06-2016 - 17:13.

[cristianoronaldo]

Đặt$\left\{\begin{matrix} a=x^4\\ b=y^4\\ c=z^4\end{matrix}\right.$

Ta sẽ chứng minh:

$\frac{x^4+3}{(x^4+1)^2}\geq \frac{3}{x^6+x^3+1}$

Thật vậy bất đẳng thức trên tương đương với:

$(x-1)^2x^3(x^5+2x^4-x^2+1)\geq 0$

Như vậy ta có:

$\sum \frac{a+3}{(a+1)^2}\geq 3.\sum \frac{1}{x^6+x^3+1}$

Đến đây sử dụng bất đẳng thức quen thuộc:

$\sum \frac{1}{x^2+x+1}\geq 1$ với $\prod x= 1$

[KietLW9]

 $a,b,c>0$ và $abc=1$ . C/m $\sum \frac{a+3}{(a+1)^2} \ge 3$ 

 

Ta có: $\frac{a+3}{(a+1)^2}+\frac{b+3}{(b+1)^2}+\frac{c+3}{(c+1)^2}-3=\frac{1}{2}\sum_{cyc}\frac{(ab^2c+3)(a-b)^2+ab(a+b+2)(c-1)^2}{(a+1)^2(b+1)^2(c+1)^2}\geqslant 0$ 

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Edited by KietLW9, 04-04-2021 - 20:44.