Chủ đề này có 2 trả lời

[tranductucr1]

Cho $a$,$b$,$c$,$d$ là các số dương thỏa mãn 

$\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+d^2} =1$
Chứng minh $a+b+c+d \geq 3(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 10-06-2016 - 21:56

[Nam Duong]

Cho $a$,$b$,$c$,$d$ là các số dương thỏa mãn 

$\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+d^2} =1$
Chứng minh $a+b+c+d \geq 3(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c})$

$gt \Leftrightarrow \sum \frac{a^2-3}{1+a^2}=0$

bđt $\Leftrightarrow \sum \frac{a^2-3}{a} \ge 0 \leftrightarrow \sum \frac{(a^2-3)(1+a^2)}{(1+a^2)a} \ge 0$

giả sử $a \ge b \ge c \ge d$ suy ra $f(x)=\frac{x^2-3}{x^2+1}$ và $g(x)=\frac{1+x^2}{x}$ là các hàm đơn điệu tăng trên $R^+$

áp dụng $Chebyshev$ cho $2$ bộ trên ta được đpcm

[tranductucr1]

$gt \Leftrightarrow \sum \frac{a^2-3}{1+a^2}=0$

bđt $\Leftrightarrow \sum \frac{a^2-3}{a} \ge 0 \leftrightarrow \sum \frac{(a^2-3)(1+a^2)}{(1+a^2)a} \ge 0$

giả sử $a \ge b \ge c \ge d$ suy ra $f(x)=\frac{x^2-3}{x^2+1}$ và $g(x)=\frac{1+x^2}{x}$ là các hàm đơn điệu tăng trên $R^+$

áp dụng $Chebyshev$ cho $2$ bộ trên ta được đpcm

Chưa chắc gì $\frac{1+x^2}{x}$ đã là hàm đơn điệu bạn cần chứng minh !!!