Chủ đề này có 5 trả lời

[huykinhcan99]

Câu 1 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} 2y\left(x^2-y^2\right)=3x \\ x\left(x^2+y^2\right)=10y \end{array} \right.$ với $x$, $y$ cùng dấu.

 

Câu 2 (2,0 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[P=\sqrt{x+6\sqrt{x-9}}+\sqrt{x-6\sqrt{x-9}}\] 

 

Câu 3 (1,0 điểm). Tìm tất cả các nghiệm nguyên $(x;y)$ của phương trình

\[2xy+x+y=83\]

 

Câu 4 (1,0 điểm). Tìm tất cả các số có 5 chữ số $\overline{abcde}$ sao cho $\sqrt[3]{\overline{abcde}}=\overline{ab}$.

 

Câu 5 (1,0 điểm). Cho ba số $a$, $b$, $c$ nguyên dương, nguyên tố cùng nhau và thoả mãn điều kiện $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}$. Chứng minh $a+b$ là số chính phương.

 

Câu 6 (1,5 điểm). Cho đường tròn tâm $O$ và dây cung $AB$. Từ môt điểm $M$ bất kỳ trên đường tròn ($M$ khác $A$ và $B$), kẻ $MH \perp AB$ tại $H$. Gọi $E$, $F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $MA$, $MB$. Qua $M$ kẻ đường thẳng vuông góc với $EF$, cắt dây cung $AB$ tại $D$.

 

Chứng minh rằng: $\dfrac{MA^2}{MB^2}=\dfrac{AH}{BD}.\dfrac{AD}{BH}$

 

Câu 7 (2,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $AHC$. Trên cung nhỏ $AH$ của $(O)$ lấy điểm $M$ bất kỳ khác $A$ và $H$. Trên tiếp tuyến tại $M$ của $(O)$ lấy hai điểm $D$, $E$ sao cho $BD=BE=BA$. Đường thẳng $BM$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $N$.

1. Chứng minh rằng tứ giác $BDNE$ nội tiếp được trong một đường tròn.
2. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BDNE$ và đường tròn $(O)$ tiếp xúc nhau.

[Baoriven]

Câu 3:

Ta có: $(2x+1)(2y+1)=167$

Rất may mắn 167 là số nguyên tố nên 167=1.167=167.1=(-1)(-167)=(-167).(-1)

Được 4 bộ nghiệm nguyên: (0;83);(83;0);(-1;-84);(-84;-1)

[LuaMi]

Câu 3: Ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$$\Rightarrow (a-c)(b-c)=c^2$

Giả sử $gcd (a-c,b-c)=d\neq 1$ thì $d|c$$\Rightarrow d|a,d|b$, mâu thuẫn với giả thiết $a,b,c$ nguyên tố cùng nhau

Vậy $gcd (a-c,b-c)=1$, ta có ngay $a-c$ và $b-c$ là số chính phương, giả sử $a-c=p^2$ thì $b-c=\frac{c^2}{p^2}$ với $p$ là ước của $c$

Suy ra: $a+b=p^2+\frac{c^2}{p^2}+2c=(p+\frac{c}{p})^2$ là số chính phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LuaMi: 13-06-2016 - 06:31

[LuaMi]

Câu 6: Ta đi chứng minh rằng đường thẳng qua $M$ vuông góc với $EF$ đi qua $O$, ta nhận được $MH,MO$ liên hợp đẳng giác góc $A$ nên ta có ngay đpcm

[LuaMi]

Bài 7:

a) $\Delta BDE$ cân tại $B$ nên $\widehat{BDE}=\widehat{BED}$

Có $BM.BN=BH.BC=BA^2=BD^2$, suy ra: $BD^2=BM.BN$$\Rightarrow \Delta BDM \sim \Delta BMD\Rightarrow \widehat{BDM}=\widehat{BND}$. Vậy $\widehat{BED}=\widehat{BND}$ hay $BDNE$ nội tiếp

b) Bổ đề: Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $AB$, đường tròn $(O')$ tiếp xúc với $(O)$ và $AB$ lần lượt tại $D,E$. Khi đó $DE$ là phân giác góc $ADB$

Trở lại bài toán, dựng đường tròn $(C)$ tiếp xúc với $(O)$ tại $N$ và tiếp xúc với $AB$ tại $M'$. Theo bổ đề trên thì $NM'$ là phân giác góc $DNE$ mà $NM$ cũng là phân giác góc $DNE$ nên $M\equiv M'$. Dễ chứng minh được tồn tại duy nhất một đường tròn đi qua một điểm và tiếp xúc với một đường thẳng tại một điểm cho trước nên $(C)\equiv (BDNE)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LuaMi: 13-06-2016 - 06:47

[Baoriven]

Câu 2:

$P=|\sqrt{x-9}+3|+|3-\sqrt{x-9}|\geq 6$

Min P=6 khi và chỉ khi $9\leq x\leq 18$