Chủ đề này có 7 trả lời

[nuoccam]

Cho a,b,c > 0. CMR:

$\sum \frac{a}{\sqrt{4a^2+ab+4b^2}} \leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nuoccam: 13-06-2016 - 22:17

[tungteng532000]

Cho a,b,c > 0. CMR:

$\sum \frac{a}{\sqrt{4a^2+ab+4b^2}} \leq 1$

Bài này khá đẹp, có một bổ đề:
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xyz=1$. Ta có:
$\frac{1}{x^2+x+1}+\frac{1}{y^2+y+1}+\frac{1}{z^2+z+1}\geq 1$
Việc chứng minh xin dành lại cho bạn   
Đặt $\frac{b}{a}=x,\frac{c}{b}=y,\frac{a}{c}=z$ thì $xyz=1$.
Bđt cần chứng minh:
$\sum \frac{1}{\sqrt{4+x+4x^2}}\leq 1$
Ta chứng minh: $\frac{1}{\sqrt{4+x+4x^2}}\leq \frac{x+1}{2(x^2+x+1)}\Leftrightarrow (x+1)^2(4+x+4x^2)-4(x^2+x+1)^2\geq 0\Leftrightarrow x(x-1)^2\geq 0$ (đúng)
Tương tự, ta có: $\sum \frac{1}{\sqrt{4+x+4x^2}}\leq \frac{1}{2}\sum \frac{x+1}{x^2+x+1}=\frac{1}{2}(3-\sum \frac{1}{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}+1})\leq \frac{1}{2}(3-1)=1$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.

[nuoccam]

Bài này khá đẹp, có một bổ đề:
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xyz=1$. Ta có:
$\frac{1}{x^2+x+1}+\frac{1}{y^2+y+1}+\frac{1}{z^2+z+1}\geq 1$
Việc chứng minh xin dành lại cho bạn   
Đặt $\frac{b}{a}=x,\frac{c}{b}=y,\frac{a}{c}=z$ thì $xyz=1$.
Bđt cần chứng minh:
$\sum \frac{1}{\sqrt{4+x+4x^2}}\leq 1$
Ta chứng minh: $\frac{1}{\sqrt{4+x+4x^2}}\leq \frac{x+1}{2(x^2+x+1)}\Leftrightarrow (x+1)^2(4+x+4x^2)-4(x^2+x+1)^2\geq 0\Leftrightarrow x(x-1)^2\geq 0$ (đúng)
Tương tự, ta có: $\sum \frac{1}{\sqrt{4+x+4x^2}}\leq \frac{1}{2}\sum \frac{x+1}{x^2+x+1}=\frac{1}{2}(3-\sum \frac{1}{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}+1})\leq \frac{1}{2}(3-1)=1$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.

Tại sao mà a biết đc BĐT này vậy $\frac{1}{\sqrt{4+x+4x^2}}\leq \frac{x+1}{2(x^2+x+1)}$

Mình có sử dụng thủ thuật gì ko ạ

hay là chỉ mò thôi 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nuoccam: 14-06-2016 - 20:50

[Nam Duong]

Tại sao mà a biết đc BĐT này vậy $\frac{1}{\sqrt{4+x+4x^2}}\leq \frac{x+1}{2(x^2+x+1)}$

Mình có sử dụng thủ thuật gì ko ạ

hay là chỉ mò thôi 

chắc là dùng pp tiếp tuyến

[tungteng532000]

Tại sao mà a biết đc BĐT này vậy $\frac{1}{\sqrt{4+x+4x^2}}\leq \frac{x+1}{2(x^2+x+1)}$

Mình có sử dụng thủ thuật gì ko ạ

hay là chỉ mò thôi 

Mình mò thật 

[nuoccam]

chắc là dùng pp tiếp tuyến

PP tiếp tuyến hầu hết chỉ cho ta đc vế bậc 1 thôi a, còn nếu ra đc vế có cả phân thức thế kia thì thực sự là tiếp tuyến ko làm nổi 

[Chris yang]

PP tiếp tuyến hầu hết chỉ cho ta đc vế bậc 1 thôi a, còn nếu ra đc vế có cả phân thức thế kia thì thực sự là tiếp tuyến ko làm nổi 

Thực sự là nếu dùng PP tiếp tuyến cũng khó mò mẫm ra BĐT đẹp thế kia =))

Cái này chắc do kĩ năng sử dụng BĐT phụ trong giải BĐT. Ta luôn có BĐT Vasc quen thuộc là $\sum \frac{x+1}{x^2+x+1}\leq 1$ $(*)$với $xyz=1$ . Cho nên khi biến đổi BĐT về dạng như thế kia thì khả năng nghĩ đến BĐT $(*)$ là có khả thi

Như thế thì sau này với các bài BĐT dạng này có thể giải hướng kiểu kia được không nhỉ? Bài giải của bạn trên tuyệt quá!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 15-06-2016 - 22:55

[nuoccam]

Thực sự là nếu dùng PP tiếp tuyến cũng khó mò mẫm ra BĐT đẹp thế kia =))

Cái này chắc do kĩ năng sử dụng BĐT phụ trong giải BĐT. Ta luôn có BĐT Vasc quen thuộc là $\sum \frac{x+1}{x^2+x+1}\leq 1$ $(*)$với $xyz=1$ . Cho nên khi biến đổi BĐT về dạng như thế kia thì khả năng nghĩ đến BĐT $(*)$ là có khả thi

Như thế thì sau này với các bài BĐT dạng này có thể giải hướng kiểu kia được không nhỉ? Bài giải của bạn trên tuyệt quá!

chị ko phải khen nữa đâu, bài làm miễn bình luận