Cho a,b,c > 0. CMR:
$\sum \frac{a}{\sqrt{4a^2+ab+4b^2}} \leq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nuoccam: 13-06-2016 - 22:17
Cho a,b,c > 0. CMR:
$\sum \frac{a}{\sqrt{4a^2+ab+4b^2}} \leq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nuoccam: 13-06-2016 - 22:17
Cho a,b,c > 0. CMR:
$\sum \frac{a}{\sqrt{4a^2+ab+4b^2}} \leq 1$
Bài này khá đẹp, có một bổ đề:
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xyz=1$. Ta có:
$\frac{1}{x^2+x+1}+\frac{1}{y^2+y+1}+\frac{1}{z^2+z+1}\geq 1$
Việc chứng minh xin dành lại cho bạn
Đặt $\frac{b}{a}=x,\frac{c}{b}=y,\frac{a}{c}=z$ thì $xyz=1$.
Bđt cần chứng minh:
$\sum \frac{1}{\sqrt{4+x+4x^2}}\leq 1$
Ta chứng minh: $\frac{1}{\sqrt{4+x+4x^2}}\leq \frac{x+1}{2(x^2+x+1)}\Leftrightarrow (x+1)^2(4+x+4x^2)-4(x^2+x+1)^2\geq 0\Leftrightarrow x(x-1)^2\geq 0$ (đúng)
Tương tự, ta có: $\sum \frac{1}{\sqrt{4+x+4x^2}}\leq \frac{1}{2}\sum \frac{x+1}{x^2+x+1}=\frac{1}{2}(3-\sum \frac{1}{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}+1})\leq \frac{1}{2}(3-1)=1$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.
Lời giải hay thì like nhé
FB: https://www.facebook...oylanh.lung.564
Bài này khá đẹp, có một bổ đề:
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xyz=1$. Ta có:
$\frac{1}{x^2+x+1}+\frac{1}{y^2+y+1}+\frac{1}{z^2+z+1}\geq 1$
Việc chứng minh xin dành lại cho bạn
Đặt $\frac{b}{a}=x,\frac{c}{b}=y,\frac{a}{c}=z$ thì $xyz=1$.
Bđt cần chứng minh:
$\sum \frac{1}{\sqrt{4+x+4x^2}}\leq 1$
Ta chứng minh: $\frac{1}{\sqrt{4+x+4x^2}}\leq \frac{x+1}{2(x^2+x+1)}\Leftrightarrow (x+1)^2(4+x+4x^2)-4(x^2+x+1)^2\geq 0\Leftrightarrow x(x-1)^2\geq 0$ (đúng)
Tương tự, ta có: $\sum \frac{1}{\sqrt{4+x+4x^2}}\leq \frac{1}{2}\sum \frac{x+1}{x^2+x+1}=\frac{1}{2}(3-\sum \frac{1}{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}+1})\leq \frac{1}{2}(3-1)=1$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.
Tại sao mà a biết đc BĐT này vậy $\frac{1}{\sqrt{4+x+4x^2}}\leq \frac{x+1}{2(x^2+x+1)}$
Mình có sử dụng thủ thuật gì ko ạ
hay là chỉ mò thôi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nuoccam: 14-06-2016 - 20:50
Tại sao mà a biết đc BĐT này vậy $\frac{1}{\sqrt{4+x+4x^2}}\leq \frac{x+1}{2(x^2+x+1)}$
Mình có sử dụng thủ thuật gì ko ạ
hay là chỉ mò thôi
chắc là dùng pp tiếp tuyến
Tại sao mà a biết đc BĐT này vậy $\frac{1}{\sqrt{4+x+4x^2}}\leq \frac{x+1}{2(x^2+x+1)}$
Mình có sử dụng thủ thuật gì ko ạ
hay là chỉ mò thôi
Mình mò thật
Lời giải hay thì like nhé
FB: https://www.facebook...oylanh.lung.564
chắc là dùng pp tiếp tuyến
PP tiếp tuyến hầu hết chỉ cho ta đc vế bậc 1 thôi a, còn nếu ra đc vế có cả phân thức thế kia thì thực sự là tiếp tuyến ko làm nổi
PP tiếp tuyến hầu hết chỉ cho ta đc vế bậc 1 thôi a, còn nếu ra đc vế có cả phân thức thế kia thì thực sự là tiếp tuyến ko làm nổi
Thực sự là nếu dùng PP tiếp tuyến cũng khó mò mẫm ra BĐT đẹp thế kia =))
Cái này chắc do kĩ năng sử dụng BĐT phụ trong giải BĐT. Ta luôn có BĐT Vasc quen thuộc là $\sum \frac{x+1}{x^2+x+1}\leq 1$ $(*)$với $xyz=1$ . Cho nên khi biến đổi BĐT về dạng như thế kia thì khả năng nghĩ đến BĐT $(*)$ là có khả thi
Như thế thì sau này với các bài BĐT dạng này có thể giải hướng kiểu kia được không nhỉ? Bài giải của bạn trên tuyệt quá!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 15-06-2016 - 22:55
Thực sự là nếu dùng PP tiếp tuyến cũng khó mò mẫm ra BĐT đẹp thế kia =))
Cái này chắc do kĩ năng sử dụng BĐT phụ trong giải BĐT. Ta luôn có BĐT Vasc quen thuộc là $\sum \frac{x+1}{x^2+x+1}\leq 1$ $(*)$với $xyz=1$ . Cho nên khi biến đổi BĐT về dạng như thế kia thì khả năng nghĩ đến BĐT $(*)$ là có khả thi
Như thế thì sau này với các bài BĐT dạng này có thể giải hướng kiểu kia được không nhỉ? Bài giải của bạn trên tuyệt quá!
chị ko phải khen nữa đâu, bài làm miễn bình luận
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh