Chủ đề này có 2 trả lời

[O0NgocDuy0O]

Với các số thực dương $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ có tổng bằng $1$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$f=\frac{x_{1}}{\sqrt{1-x_{1}}}+\frac{x_{2}}{\sqrt{1-x_{2}}}+...+\frac{x_{n}}{\sqrt{1-x_{n}}}.$$

 

[Thislife]

Với các số thực dương $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ có tổng bằng $1$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$f=\frac{x_{1}}{\sqrt{1-x_{1}}}+\frac{x_{2}}{\sqrt{1-x_{2}}}+...+\frac{x_{n}}{\sqrt{1-x_{n}}}.$$

Đặt $B= \sum x_1(1-x_1) =1- \sum x_1^2$

Mà : $\sum x_1^2 \geq \frac{\sum x_1}{n} = \frac{1}{n} \rightarrow -\sum x_1^2 \leq -\frac{1}{n}  \rightarrow B\leq  \frac{n-1}{n} \rightarrow 1 \geq \frac{Bn}{n-1} $

 

Áp dụng bđt $Holder$ ta có:

$f^2B \geq (\sum x_1)^3=1 \geq \frac{Bn}{n-1}  $

Từ đây ta có $minf = \sqrt{\frac{n}{n-1}}$ 

Đẳng thức xảy ra khi các biến  bằng nhau và bằng $\frac{1}{n}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thislife: 14-06-2016 - 15:40

[Nam Duong]

Với các số thực dương $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ có tổng bằng $1$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$f=\frac{x_{1}}{\sqrt{1-x_{1}}}+\frac{x_{2}}{\sqrt{1-x_{2}}}+...+\frac{x_{n}}{\sqrt{1-x_{n}}}.$$

do bđt đối xứng nên gs $x_1 \ge x_2 \ge... \ge x_n$

$ \rightarrow \frac{1}{\sqrt{1-x_1}} \ge... \ge \frac{1}{\sqrt1-x_n}}$

áp dụng $Chebyshev$ cho $2$ bộ trên ta được

$f \ge \frac{1}{n}.\frac{n^2}{\sum \sqrt{1-x_1}} \ge \frac{n}{\sqrt{n(n-1)}}=\sqrt{\frac{n}{n-1}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nam Duong: 14-06-2016 - 20:29
$\LaTeX$